Трубчатая окрестность

Трубчатая окрестность подмногообразия в многообразии — это открытое множество, окружающее подмногообразие и локально устроенное подобно нормальному расслоению.

Мотивация

Поясним понятие трубчатой окрестности на простом примере. Рассмотрим на плоскости гладкую кривую без самопересечений. В каждой точке кривой построим линию перпендикулярную к этой кривой. Если кривая не является прямой, эти перпендикуляры могут пересекаться друг с другом весьма сложным образом. Тем не менее, если рассматривать очень узкую ленточку вокруг кривой, кусочки перпендикуляров, лежащих в ленточке, не пересекутся и покроют всю её без лакун. Такая ленточка и является трубчатой окрестностью кривой.

В общем случае рассмотрим подмногообразие [math]\displaystyle{ S\subset M }[/math] многообразия M и N — нормальное расслоение к подмногообразию S в M. В этом случае S играет роль кривой, а M — роль плоскости, содержащей эту кривую. Рассмотрим естественное отображение

[math]\displaystyle{ i:N_0 \rightarrow S }[/math],

которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между нулевым сечением [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] расслоения N и подмногообразием S из M. Пусть j — продолжение этого отображения на все нормальное расслоение N со значениями в многообразии M, причём j(N) является открытым множеством в M, а j — гомеоморфизмом между N и j(N). Тогда j называется трубчатой окрестностью.

Часто трубчатой окрестностью подмногообразия S называют не само отображение j, а его образ T=j(N), подразумевая тем самым существование гомеоморфизма j между множествами N и T.

Свойства

Для замкнутого гладкого подмногообразия [math]\displaystyle{ N }[/math] риманого многообразия, множество [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math] точек на расстоянии [math]\displaystyle{ \lt \varepsilon }[/math] от [math]\displaystyle{ N }[/math] образует трубчатую окрестность [math]\displaystyle{ N }[/math] при всех достаточно малых положительных значениях [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

См. также

Формула трубки

Литература

М. Хирш Дифференциальная топология. — М: Мир, 1979.[1]