Точка конденсации

Точка конденсации — усиленный вариант предельной точки и специальный вариант точки накопления в общей топологии: для заданного множества [math]\displaystyle{ A }[/math] в топологическом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] точка [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] называется точкой конденсации, если во всякой окрестности [math]\displaystyle{ x }[/math] содержится несчётное множество точек множества [math]\displaystyle{ A }[/math].

Множество точек конденсации множества [math]\displaystyle{ A }[/math] — [math]\displaystyle{ A^\circ }[/math] — замкнуто, более того, если оно непусто, то является совершенным множеством и имеет мощность континуума. Множество точек конденсации замыкания множества совпадает с множеством точек конденсации самого множества: [math]\displaystyle{ \bar A^\circ = A^\circ }[/math]. Объединение множеств точек конденсации двух множеств совпадает со множеством точек конденсации объединения исходных множеств: [math]\displaystyle{ (A \cup B)^\circ = A^\circ \cup B^\circ }[/math]. Для множества [math]\displaystyle{ A }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] со второй аксиомой счётности [math]\displaystyle{ A \setminus A^\circ }[/math] счётно и [math]\displaystyle{ (A^\circ)^\circ = A }[/math]. Из последних двух свойств непосредственно следует теорема Кантора — Бендиксона в общетопологическом варианте (изначально доказанная для подмножеств числовой прямой).

У подмножества числовой все предельные точки являются точками конденсации; каждая точка канторова дисконтинуума является его точкой конденсации. У счётного множества точек конденсации быть не может (при этом предельные точки могут существовать, например, предельными для счётного множества рациональных чисел [math]\displaystyle{ \Q }[/math] являются все точки числовой прямой).

Для подпространств евклидовых пространств точки конденсации определил и изучил в 1903 году Эрнст Линделёф, в 1914 году Феликс Хаусдорф распространил понятие на общие топологические пространства.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — С. 104, 143, 159—160. — 368 с.
• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 102. — 752 с.
• Точка конденсации — статья из Математической энциклопедии. Б. А. Ефимов