Теория Фредгольма

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Названа в честь основного разработчика — шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.

Однородные уравнения

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:

[math]\displaystyle{ g(x)=\int_a^b K(x,y) f(y)\,dy }[/math].

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:

[math]\displaystyle{ Lg(x)=f(x) }[/math],

где функция [math]\displaystyle{ f }[/math] — задана, а [math]\displaystyle{ g }[/math] — неизвестна. Здесь [math]\displaystyle{ L }[/math] — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за [math]\displaystyle{ L }[/math] эллиптический оператор:

[math]\displaystyle{ L=\frac{d^2}{dx^2} }[/math],

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:

[math]\displaystyle{ LK(x,y) = \delta(x-y) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \delta(x) }[/math] — дельта-функция Дирака. Далее:

[math]\displaystyle{ g(x)=\int K(x,y) f(y)\,dy }[/math].

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] известна как функция Грина, или ядро интеграла.

В общей теории, [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

[math]\displaystyle{ L\psi_n(x)=\omega_n \psi_n(x) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] — собственные числа, а [math]\displaystyle{ \psi_n(x) }[/math] — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:

[math]\displaystyle{ K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n^*(x) \psi_n(y)} {\omega_n} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \psi_n^* }[/math] — двойственен к [math]\displaystyle{ \psi_n }[/math]. В данной форме, объект [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:

[math]\displaystyle{ \delta(x-y)=\sum_n \psi_n^*(x) \psi_n(y) }[/math].

Поскольку [math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] убывают к нулю.

Неоднородные уравнения

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:

[math]\displaystyle{ f(x)=- \omega \phi(x) + \int K(x,y) \phi(y)\,dy }[/math]

может быть написано формально как:

[math]\displaystyle{ f = (K-\omega) \phi }[/math].

Тогда формальное решение:

[math]\displaystyle{ \phi=\frac{1}{K-\omega} f }[/math].

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

[math]\displaystyle{ R(\omega)= \frac{1}{K-\omega I} }[/math].

Заданному набору собственных векторов и собственных значений [math]\displaystyle{ K }[/math] можно сопоставить резольвенту конкретного вида:

[math]\displaystyle{ R(\omega; x,y) = \sum_n \frac{\psi_n^*(y)\psi_n(x)}{\omega_n - \omega} }[/math]

с решением:

[math]\displaystyle{ \phi(x)=\int R(\omega; x,y) f(y)\,dy }[/math].

Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням [math]\displaystyle{ \lambda=1/\omega }[/math], в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:

[math]\displaystyle{ g(x)= \phi(x) - \lambda \int K(x,y) \phi(y)\,dy }[/math]

Резольвента пишется в альтернативной форме:

[math]\displaystyle{ R(\lambda)= \frac{1}{I-\lambda K} }[/math].

Определитель Фредгольма

Определитель Фредгольма обычно определяется как:

[math]\displaystyle{ \det(I-\lambda K) = \exp \left[ -\sum_n \frac{\lambda^n}{n} \operatorname{Tr}\, K^n \right] }[/math],

где [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr}\, K = \int K(x,x)\,dx }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr}\, K^2 = \iint K(x,y) K(y,x) \,dx\,dy }[/math] и так далее. Соответствующая дзета-функция:

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = \frac{1}{\det(I-s K)}. }[/math]

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа.

Основные результаты

Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.

Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.

Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.

История

Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica — одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений Фредгольма.

Ссылки

Литература

  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теория_Фредгольма&oldid=5835223