Теория Фредгольма
Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.
Названа в честь основного разработчика — шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.
Однородные уравнения
Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:
- [math]\displaystyle{ g(x)=\int_a^b K(x,y) f(y)\,dy }[/math].
Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:
- [math]\displaystyle{ Lg(x)=f(x) }[/math],
где функция [math]\displaystyle{ f }[/math] — задана, а [math]\displaystyle{ g }[/math] — неизвестна. Здесь [math]\displaystyle{ L }[/math] — линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за [math]\displaystyle{ L }[/math] эллиптический оператор:
- [math]\displaystyle{ L=\frac{d^2}{dx^2} }[/math],
в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:
- [math]\displaystyle{ LK(x,y) = \delta(x-y) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \delta(x) }[/math] — дельта-функция Дирака. Далее:
- [math]\displaystyle{ g(x)=\int K(x,y) f(y)\,dy }[/math].
Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] известна как функция Грина, или ядро интеграла.
В общей теории, [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.
Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:
- [math]\displaystyle{ L\psi_n(x)=\omega_n \psi_n(x) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] — собственные числа, а [math]\displaystyle{ \psi_n(x) }[/math] — собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:
- [math]\displaystyle{ K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n^*(x) \psi_n(y)} {\omega_n} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \psi_n^* }[/math] — двойственен к [math]\displaystyle{ \psi_n }[/math]. В данной форме, объект [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:
- [math]\displaystyle{ \delta(x-y)=\sum_n \psi_n^*(x) \psi_n(y) }[/math].
Поскольку [math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора [math]\displaystyle{ K(x,y) }[/math] убывают к нулю.
Неоднородные уравнения
Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:
- [math]\displaystyle{ f(x)=- \omega \phi(x) + \int K(x,y) \phi(y)\,dy }[/math]
может быть написано формально как:
- [math]\displaystyle{ f = (K-\omega) \phi }[/math].
Тогда формальное решение:
- [math]\displaystyle{ \phi=\frac{1}{K-\omega} f }[/math].
Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор
- [math]\displaystyle{ R(\omega)= \frac{1}{K-\omega I} }[/math].
Заданному набору собственных векторов и собственных значений [math]\displaystyle{ K }[/math] можно сопоставить резольвенту конкретного вида:
- [math]\displaystyle{ R(\omega; x,y) = \sum_n \frac{\psi_n^*(y)\psi_n(x)}{\omega_n - \omega} }[/math]
с решением:
- [math]\displaystyle{ \phi(x)=\int R(\omega; x,y) f(y)\,dy }[/math].
Необходимое и достаточное условие существования такого решения — одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням [math]\displaystyle{ \lambda=1/\omega }[/math], в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:
- [math]\displaystyle{ g(x)= \phi(x) - \lambda \int K(x,y) \phi(y)\,dy }[/math]
Резольвента пишется в альтернативной форме:
- [math]\displaystyle{ R(\lambda)= \frac{1}{I-\lambda K} }[/math].
Определитель Фредгольма
Определитель Фредгольма обычно определяется как:
- [math]\displaystyle{ \det(I-\lambda K) = \exp \left[ -\sum_n \frac{\lambda^n}{n} \operatorname{Tr}\, K^n \right] }[/math],
где [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr}\, K = \int K(x,x)\,dx }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr}\, K^2 = \iint K(x,y) K(y,x) \,dx\,dy }[/math] и так далее. Соответствующая дзета-функция:
- [math]\displaystyle{ \zeta(s) = \frac{1}{\det(I-s K)}. }[/math]
Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта — Пойа.
Основные результаты
Классические результаты данной теории — это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.
Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро — это компактный оператор, где пространство функций — это пространство равностепенно непрерывных функций.
Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на компактных многообразиях.
История
Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica — одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений Фредгольма.
Ссылки
- E. I. Fredholm, «Sur une classe d’equations fonctionnelles», Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365—390.
- D. E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
- B. V. Khvedelidze, G.L. Litvinov (2001), «Fredholm kernel», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bruce K. Driver, «Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem», Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579—600.
- Robert C. McOwen, «Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds», Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169—185.
Литература
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |