Теорема Новикова о компактном слое

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Теорема Новикова о компактном слое на сфере [math]\displaystyle{ S^3 }[/math]

Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] имеет компактный слой, диффеоморфный тору [math]\displaystyle{ T^2 }[/math] и ограничивающий область [math]\displaystyle{ D^2\times S^1 }[/math] со слоением Риба.

Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором [math]\displaystyle{ T^2 }[/math].

Теорема Новикова о компактном слое на произвольном [math]\displaystyle{ M^3 }[/math]

В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия [math]\displaystyle{ M^3 }[/math]:

Теорема: Пусть на замкнутом многообразии [math]\displaystyle{ M^3 }[/math] с заданным на нём гладким двумерным слоением [math]\displaystyle{ F }[/math] выполняется одно из условий:

  1. фундаментальная группа [math]\displaystyle{ \pi_1(M^3) }[/math] конечна,
  2. вторая гомотопическая группа [math]\displaystyle{ \pi_2(M^3)\ne 0 }[/math],
  3. существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,
  4. существует слой [math]\displaystyle{ L\in F }[/math] такой, что отображение [math]\displaystyle{ \pi_1(L)\to\pi_1(M^3) }[/math], индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.

Тогда [math]\displaystyle{ F }[/math] имеет компактный слой рода [math]\displaystyle{ g\le 1 }[/math]. Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо [math]\displaystyle{ F }[/math] включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам [math]\displaystyle{ S^2 }[/math] или проективным плоскостям [math]\displaystyle{ RP^2 }[/math].

В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:

Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии [math]\displaystyle{ M^3 }[/math] с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Обобщение на случай негладкого слоения на [math]\displaystyle{ M^3 }[/math]

В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math].

В 1970 году было дано доказательство для класса [math]\displaystyle{ C^2 }[/math][1],

В 1975 году — для слоений класса [math]\displaystyle{ C^1 }[/math][2].

Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]. Этот результат тем более интересен, что ещё в 1974 году П. Швейцер в построил примеры [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]-слоений на сферах [math]\displaystyle{ S^{2k+1} }[/math], [math]\displaystyle{ k\gt 1 }[/math], не имеющих компактных слоев[3].

Обобщение теоремы Новикова на сфере [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] на слоения с особенностями

В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (то есть локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере [math]\displaystyle{ S^3 }[/math]. Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».

Теорема[4]: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.

  • Если [math]\displaystyle{ s\gt c }[/math], то [math]\displaystyle{ s=c+2 }[/math] и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере [math]\displaystyle{ S^2 }[/math].
  • Если [math]\displaystyle{ s\lt c }[/math], слоение может не иметь компактных слоев.

Литература

  • С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225—255.[1]


Примечания

  1. ↑ Rozenberg H., Roussarie R. Reeb foliations.— Ann. of Math., 1970, v. 91, p. 1—24.
  2. ↑ Plante J. F. Foliations with measure preserving holonomy.— Ann. of Math., 1975, v. 102, № 2, p. 327—361.
  3. ↑ Schweitzer P. A. Counterexample to the Seifert conjecture and opening leaves of foliations.— Ann. of Math., 1974, v. 100, № 2, p. 386—400.
  4. ↑ Wagneur E. A generalization of Novikov’s theorem to foliations with isolated generic singularities — Topology and its Appl., Proc. Conf. Mem. Univ. Newfoundland., St. John’s, Canada, 1973, v.12, New York, 1975, p.189—198
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Новикова_о_компактном_слое&oldid=5851064