Перейти к содержанию

Лемма Морса

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ f: \R^n\to\R }[/math] — функция класса [math]\displaystyle{ C^{r+2} }[/math], где [math]\displaystyle{ r \ge 1 }[/math], имеющая точку [math]\displaystyle{ 0\in\R^n }[/math] своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} }[/math] обращается в нуль, а гессиан [math]\displaystyle{ \Bigl|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr| }[/math] отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] точки [math]\displaystyle{ 0 }[/math] существует такая система [math]\displaystyle{ C^{r} }[/math]-гладких локальных координат (карта) [math]\displaystyle{ (x_1,x_2, \ldots ,x_n) }[/math] с началом в точке [math]\displaystyle{ 0 }[/math], что для всех [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] имеет место равенство[1]

[math]\displaystyle{ f(x)=f(0)-x_1^2-\dots-x_k^2+x_{k+1}^2+\dots+x_n^2 }[/math].

При этом число [math]\displaystyle{ k }[/math], определяемое сигнатурой квадратичной части ростка [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ 0 }[/math], называется индексом критической точки [math]\displaystyle{ 0 }[/math] данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Вариации и обобщения

Теорема Тужрона

В окрестности критической точки [math]\displaystyle{ 0 }[/math] конечной кратности [math]\displaystyle{ \mu }[/math] существует система координат, в которой гладкая функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] имеет вид многочлена [math]\displaystyle{ P_{\mu+1}(x) }[/math] степени [math]\displaystyle{ \mu+1 }[/math] (в качестве [math]\displaystyle{ P_{\mu+1}(x) }[/math] можно взять многочлен Тейлора функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ 0 }[/math] в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность [math]\displaystyle{ \mu=1 }[/math], и теорема Тужрона превращается в лемму Морса[1][2].

Лемма Морса с параметрами

Пусть [math]\displaystyle{ f(x_1,\ldots,x_n, y_1,\ldots,y_m): \R^{n+m} \to \R }[/math] — гладкая функция, имеющая начало координат [math]\displaystyle{ 0 }[/math] своей критической точкой, невырожденной по переменным [math]\displaystyle{ x_1,\ldots,x_n }[/math]. Тогда в окрестности точки [math]\displaystyle{ 0 }[/math] существуют гладкие координаты, в которых

[math]\displaystyle{ f(x,y) = \alpha_1 x_1^2 + \cdots + \alpha_n x_n^2 \, + \, f_0(y_1,\ldots,y_m), \quad \alpha_i = \pm 1, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f_0 }[/math] — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от [math]\displaystyle{ n+m }[/math] переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции)[1].

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом[1].

О доказательствах

Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма[3]. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера[4].

Примечания

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
  2. Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.
  3. Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.
  4. Palais, Richard S. "The Morse lemma for Banach spaces." Bulletin of the American Mathematical Society 75.5 (1969): 968-971.

Литература

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: МЦНМО, 2009. — 672 с. — ISBN 978-5-94057-456-9.
  • Хирш М. Дифференциальная топология / Пер. с англ. Д.Б. Фукса.. — М.: Мир, 1979. — 279 с.
  • Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.