Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Формула

Пусть [math]\displaystyle{ a_n }[/math] — последовательность действительных или комплексных чисел и [math]\displaystyle{ f (x) }[/math] — непрерывно дифференцируемая на луче [math]\displaystyle{ [1, x) }[/math] функция. Тогда

[math]\displaystyle{ \sum_{1\le n \le x} a_n f(n) = A(x)f(x) - \int_1^x A(u)f'(u) \, \mathrm{d}u }[/math]

где

[math]\displaystyle{ A(x):= \sum_{0 \lt n \le x} a_n \,. }[/math]

Доказательстворазвернуть

Представим обе части равенства как функции от [math]\displaystyle{ x }[/math]. Во-первых, заметим, что при [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых [math]\displaystyle{ x }[/math] обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом [math]\displaystyle{ x }[/math] левая часть имеет скачок [math]\displaystyle{ a_x f(x) }[/math], такой же скачок имеет функция [math]\displaystyle{ A(x) f(x) }[/math], а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех [math]\displaystyle{ x\ge 1 }[/math].

Если частичные суммы ряда [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ограничены, а [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f (x)=0 }[/math], то предельным переходом можно получить следующее равенство

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n f(n) = - \int\limits_1^{+\infty} A(u)f'(u) \, \mathrm{d}u }[/math]

В общем случае,

[math]\displaystyle{ \sum_{x\lt n\le y} a_n f(n) = A(y) f(y) - A(x) f(x) -\int_x^y A(u)f'(u)\,\mathrm{d}u \,. }[/math]

Примеры

Постоянная Эйлера — Маскерони

Для [math]\displaystyle{ a_n = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} \,, }[/math] легко видеть, что [math]\displaystyle{ A (x) = \lfloor x \rfloor, }[/math] тогда

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} +\mathrm{ln}(x)-\int_1^x \frac{\{u \}}{u^2}\mathrm{d}u }[/math]

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера — Маскерони:

• [math]\displaystyle{ \gamma = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{u\}}{u^2}\,du }[/math], где [math]\displaystyle{ \left\{t\right\} }[/math] — дробная часть числа [math]\displaystyle{ t }[/math].

Представление дзета-функции Римана

Для [math]\displaystyle{ a_n = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f (x) = \frac{1}{x^s} \,, }[/math] аналогично [math]\displaystyle{ A (x) = \lfloor x \rfloor, }[/math] тогда

[math]\displaystyle{ \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u =s\left(\int_1^\infty \frac{u}{u^{1+s}} \mathrm{d}u-\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u\right)=1+\frac1{s-1}-s\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u\,. }[/math]

Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области [math]\displaystyle{ \Re(s) \gt 0, }[/math] поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math] имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.