Липшицево отображение

Липшицево отображение (липшицевское отображение, также [math]\displaystyle{ L }[/math]-липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в [math]\displaystyle{ L }[/math] раз, где [math]\displaystyle{ L }[/math] называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.

Определение

Отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] метрического пространства [math]\displaystyle{ (X,\;\rho_X) }[/math] в метрическое пространство [math]\displaystyle{ (Y,\;\rho_Y) }[/math] называется липшицевым, если найдётся такая константа [math]\displaystyle{ L }[/math] (константа Липшица этого отображения), что [math]\displaystyle{ \rho_Y(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;y) }[/math] при любых [math]\displaystyle{ x,\;y\in X }[/math]. Это условие называют условием Липшица. Отображение с [math]\displaystyle{ L=1 }[/math] (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Липшицево отображение [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] называется билипшицевым, если у него существует обратное [math]\displaystyle{ f^{-1}\colon Y\to X }[/math], которое также является липшицевым.

Отображение [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] называется колипшицевым, если существует константа [math]\displaystyle{ L }[/math] такая, что для любых [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] и [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math] найдётся [math]\displaystyle{ x'\in f^{-1}(y) }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \rho_Y(f(x),\;y)\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;x') }[/math].

История

Отображения со свойством:

[math]\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot}|x-y|^\alpha,\quad\alpha\leqslant 1 }[/math]

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при [math]\displaystyle{ \alpha=1 }[/math], а при [math]\displaystyle{ \alpha\lt 1 }[/math] — условием Гёльдера.

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

• (Лемма о липшицевости) Непрерывно дифференцируемая функция на компактном подмножестве евклидова пространства удовлетворяет условию Липшица. Обратное утверждение не верно.

• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

• Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое [math]\displaystyle{ L }[/math]-липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до [math]\displaystyle{ L }[/math]-липшицевского отображения на всё пространство.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию [math]\displaystyle{ \omega(f,\;\delta)\leqslant L{\cdot}\delta }[/math].
• Показатель Гёльдера