Сравнение топологий

Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \mathcal T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal T_2 }[/math] — две топологии на множестве [math]\displaystyle{ X, }[/math] такие что [math]\displaystyle{ \mathcal T_1 }[/math] содержится в [math]\displaystyle{ \mathcal T_2: }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2. }[/math]

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология [math]\displaystyle{ \mathcal T_1 }[/math] называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем [math]\displaystyle{ \mathcal T_2. }[/math] Соответственно, топология [math]\displaystyle{ \mathcal T_2 }[/math] называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.

Бинарное отношение [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math] задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества [math]\displaystyle{ X. }[/math]

Примеры

Наиболее тонкая топология на [math]\displaystyle{ X }[/math] — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наиболее грубая топология на [math]\displaystyle{ X, }[/math] относительно которой [math]\displaystyle{ X }[/math] удовлетворяет аксиоме отделимости T₁, называется T₁-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё [math]\displaystyle{ X. }[/math]

Свойства

Пусть [math]\displaystyle{ \mathcal T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal T_2 }[/math] — две топологии на множестве [math]\displaystyle{ X. }[/math] Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• [math]\displaystyle{ \mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2 }[/math]
• Тождественное отображение [math]\displaystyle{ \text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\to (X,\mathcal T_1) }[/math] непрерывно.
• Тождественное отображение [math]\displaystyle{ \text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\to (X,\mathcal T_2) }[/math] является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением).

Также из определений немедленно следуют данные утверждения:

• Непрерывное отображение [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] останется непрывным, если топологию на [math]\displaystyle{ Y }[/math] заменить на более грубую (соответственно, топологию на [math]\displaystyle{ X }[/math] — на более тонкую).
• Открытое отображение [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] останется открытым, если топологию на [math]\displaystyle{ Y }[/math] заменить на более тонкую (соответственно, топологию на [math]\displaystyle{ X }[/math] — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологий

Множество топологий на [math]\displaystyle{ X }[/math] образует полную решётку относительно отношения [math]\displaystyle{ \subseteq. }[/math] Это значит, что произвольное семейство топологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.