Поверхность Боя

Модель поверхности Боя в Обервольфахе

Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

История

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

Построение

1. Начните со сферического колпака.
2. Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям  три полоски.
3. Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
   
4. Склеить оставшиеся края полосок.
   

Свойства

• Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
  • В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
• Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Параметризация Брайанта — Кунсера

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом.

Для комплексного числа [math]\displaystyle{ w }[/math], пусть

[math]\displaystyle{ \begin{align} g_1 &= -{3 \over 2}\cdot \mathrm{Im} \left[ {w\cdot (1 - w^4) \over w^6 + \sqrt{5} \cdot w^3 - 1} \right]\\ g_2 &= -{3 \over 2}\cdot \mathrm{Re} \left[ {w\cdot (1 + w^4) \over w^6 + \sqrt{5}\cdot w^3 - 1} \right]\\ g_3 &= \mathrm{Im} \left[ {1 + w^6 \over w^6 + \sqrt{5}\cdot w^3 - 1} \right] - {1 \over 2}\\ \end{align} }[/math]

Поверхность [math]\displaystyle{ w\mapsto (g_1,\;g_2,\;g_3) }[/math] является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность [math]\displaystyle{ w\mapsto (x,\;y,\;z) }[/math] задаваемая как

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{g_1^2 + g_2^2 + g_3^2}\cdot \begin{pmatrix}g_1\\ g_2\\ g_3\end{pmatrix}. }[/math]

и есть поверхности Боя.

Замечания

• Поверхность остаётся неизменной при замене [math]\displaystyle{ w\mapsto -\tfrac1{\bar w} }[/math], где [math]\displaystyle{ \bar w }[/math] комплексно-сопряженное к [math]\displaystyle{ w }[/math].

См. также

• поверхность Морина

Литература

• Kirby, Rob (November 2007), What is Boy's surface?, Notices of the AMS Т. 54 (10): 1306–1307, <http://www.ams.org/notices/200710/tx071001306p.pdf>  Архивная копия от 4 августа 2016 на Wayback Machine описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
  • Casselman, Bill (November 2007), Collapsing Boy's Umbrellas, Notices of the AMS Т. 54 (10): 1356, <http://www.ams.org/notices/200710/200710-about-the-cover.pdf>  Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Kusner, Rob (1987), Conformal geometry and complete minimal surfaces, Bulletin of the American Mathematical Society (New series) Т. 17 (2): 291–295, doi:10.1090/S0273-0979-1987-15564-9, <http://www.ams.org/bull/1987-17-02/S0273-0979-1987-15564-9/S0273-0979-1987-15564-9.pdf>  Архивная копия от 7 сентября 2008 на Wayback Machine.
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach, <https://www.mfo.de/about-the-institute/history/boy-surface/the-boy-surface-at-oberwolfach>  Архивная копия от 26 декабря 2019 на Wayback Machine.
• Morin, Bernard (1978), Equations du retournement de la sphère, C. R. Acad. Sci. Paris Т. 287 (13): A879–A882 
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's Архивная копия от 17 апреля 2007 на Wayback Machine.

Внешние ссылки

• Страница, посвященная поверхности Боя, содержащие различные визуализации различных уравнений, а также полезные ссылки и ссылки Архивная копия от 8 июля 2016 на Wayback Machine
• [1] Архивная копия от 19 октября 2008 на Wayback Machine - апплет плюс журнал.
• [2] Архивная копия от 12 июля 2016 на Wayback Machine, содержит в том числе оригинальные статьи Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine, и внедрение Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine в тополога в Обервольфах мальчика поверхностью.
• [3] Архивная копия от 16 сентября 2016 на Wayback Machine
• Бумажная модель для поверхности Боя — выкройка и инструкции
• Модель на основе java, которая может быть свободно повернута Архивная копия от 14 августа 2016 на Wayback Machine
• Поверхность поля линии окраски Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
• поверхность Боя Архивная копия от 16 мая 2016 на Wayback Machine визуализации видео из математического Института сербской Академии наук и искусств
• [4] Архивная копия от 18 апреля 2016 на Wayback Machine как сделать поверхность Боя, используя ножницы, кусок бумаги, и скотча. План бумаги в видео.