Поверхность Боя
Внешний вид
Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.
История
Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.
Построение

- Начните со сферического колпака.
- Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям три полоски.
- Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
- Склеить оставшиеся края полосок.
Свойства
- Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
- В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
- Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.
Параметризация Брайанта — Кунсера
Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом[англ.].[1]
Для комплексного числа [math]\displaystyle{ w }[/math], пусть
- [math]\displaystyle{ \begin{align} g_1 &= -{3 \over 2}\cdot \mathrm{Im} \left[ {w\cdot (1 - w^4) \over w^6 + \sqrt{5} \cdot w^3 - 1} \right]\\ g_2 &= -{3 \over 2}\cdot \mathrm{Re} \left[ {w\cdot (1 + w^4) \over w^6 + \sqrt{5}\cdot w^3 - 1} \right]\\ g_3 &= \mathrm{Im} \left[ {1 + w^6 \over w^6 + \sqrt{5}\cdot w^3 - 1} \right] - {1 \over 2}\\ \end{align} }[/math]
Поверхность [math]\displaystyle{ w\mapsto (g_1,\;g_2,\;g_3) }[/math] является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность [math]\displaystyle{ w\mapsto (x,\;y,\;z) }[/math] задаваемая как
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{g_1^2 + g_2^2 + g_3^2}\cdot \begin{pmatrix}g_1\\ g_2\\ g_3\end{pmatrix}. }[/math]
и есть поверхности Боя.
Замечания
- Поверхность остаётся неизменной при замене [math]\displaystyle{ w\mapsto -\tfrac1{\bar w} }[/math], где [math]\displaystyle{ \bar w }[/math] комплексно-сопряженное к [math]\displaystyle{ w }[/math].
См. также
Примечания
- ↑ Raymond O'Neil Wells. The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (May 12–16, 1987, Duke University, Durham, North Carolina) (англ.). — American Mathematical Soc., 1988. — P. 227—240. — (Proc. Sympos. Pure Math.). — ISBN 978-0-8218-1482-6. — doi:10.1090/pspum/048/974338.
Литература
- Kirby, Rob (November 2007), What is Boy's surface?, Notices of the AMS Т. 54 (10): 1306–1307, <http://www.ams.org/notices/200710/tx071001306p.pdf> Архивная копия от 4 августа 2016 на Wayback Machine описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
- Casselman, Bill (November 2007), Collapsing Boy's Umbrellas, Notices of the AMS Т. 54 (10): 1356, <http://www.ams.org/notices/200710/200710-about-the-cover.pdf> Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
- Kusner, Rob (1987), Conformal geometry and complete minimal surfaces, Bulletin of the American Mathematical Society (New series) Т. 17 (2): 291–295, doi:10.1090/S0273-0979-1987-15564-9, <http://www.ams.org/bull/1987-17-02/S0273-0979-1987-15564-9/S0273-0979-1987-15564-9.pdf> Архивная копия от 7 сентября 2008 на Wayback Machine.
- Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach, <https://www.mfo.de/about-the-institute/history/boy-surface/the-boy-surface-at-oberwolfach> Архивная копия от 26 декабря 2019 на Wayback Machine.
- Morin, Bernard (1978), Equations du retournement de la sphère, C. R. Acad. Sci. Paris Т. 287 (13): A879–A882
- Sanderson, B. Boy's will be Boy's Архивная копия от 17 апреля 2007 на Wayback Machine.
Внешние ссылки
- Страница, посвященная поверхности Боя, содержащие различные визуализации различных уравнений, а также полезные ссылки и ссылки Архивная копия от 8 июля 2016 на Wayback Machine
- [1] Архивная копия от 19 октября 2008 на Wayback Machine - апплет плюс журнал.
- [2] Архивная копия от 12 июля 2016 на Wayback Machine, содержит в том числе оригинальные статьи Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine, и внедрение Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine в тополога в Обервольфах мальчика поверхностью.
- [3] Архивная копия от 16 сентября 2016 на Wayback Machine
- Бумажная модель для поверхности Боя — выкройка и инструкции
- Модель на основе java, которая может быть свободно повернута Архивная копия от 14 августа 2016 на Wayback Machine
- Поверхность поля линии окраски Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
- поверхность Боя Архивная копия от 16 мая 2016 на Wayback Machine визуализации видео из математического Института сербской Академии наук и искусств
- [4] Архивная копия от 18 апреля 2016 на Wayback Machine как сделать поверхность Боя, используя ножницы, кусок бумаги, и скотча. План бумаги в видео.