Разложение на ручки

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

[math]\displaystyle{ \emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M }[/math]

где каждое [math]\displaystyle{ M_i }[/math] получается из [math]\displaystyle{ M_{i-1} }[/math] путём присоединения [math]\displaystyle{ i }[/math]-ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

Предпосылки

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру [math]\displaystyle{ S^n }[/math] с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения [math]\displaystyle{ \chi : D^n \to S^n }[/math] в окрестности [math]\displaystyle{ S^{n-1} }[/math].

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность [math]\displaystyle{ N_p }[/math] диффеоморфна [math]\displaystyle{ D^m }[/math]. Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение [math]\displaystyle{ N_p }[/math] и [math]\displaystyle{ M \setminus \operatorname{int}(N_p) }[/math], склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в [math]\displaystyle{ M \setminus \operatorname{int}(N_p) }[/math], её трубчатая окрестность диффеоморфна [math]\displaystyle{ I \times D^{m-1} }[/math]. Это позволяет записать [math]\displaystyle{ M }[/math] как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

  1. [math]\displaystyle{ D^m }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ I \times D^{m-1} }[/math]
  3. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в [math]\displaystyle{ M \setminus \operatorname{int}(N_p) }[/math].

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем [math]\displaystyle{ I \times D^{m-1} }[/math] с [math]\displaystyle{ D^m }[/math], отношение эквивалентности образуется путём вложения [math]\displaystyle{ (\partial I)\times D^{m-1} }[/math] в [math]\displaystyle{ \partial D^m }[/math], которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл[1]. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение [math]\displaystyle{ f : S^{j-1} \times D^{m-j} }[/math] в [math]\displaystyle{ \partial M }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ H^j = D^j \times D^{m-j} }[/math]. Многообразие [math]\displaystyle{ M \cup_f H^j }[/math] (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ H^j }[/math] с отождествлением [math]\displaystyle{ S^{j-1} \times D^{m-j} }[/math] с его образом в [math]\displaystyle{ \partial M }[/math], то есть:

[math]\displaystyle{ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim }[/math]

где отношение эквивалентности [math]\displaystyle{ \sim }[/math] задаётся как [math]\displaystyle{ (p,x) \sim f(p,x) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ (p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j} }[/math].

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось [math]\displaystyle{ M }[/math] . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

Терминология

Возьмём объединение M с j-ручкой [math]\displaystyle{ H^j }[/math]:

[math]\displaystyle{ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim }[/math]

[math]\displaystyle{ f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M }[/math] называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой)[2].

[math]\displaystyle{ f }[/math] иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

[math]\displaystyle{ \{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j }[/math] является опоясывающей сферой ручки [math]\displaystyle{ H^j }[/math] в [math]\displaystyle{ M \cup_f H^j }[/math].

Многообразие, полученное присоединением [math]\displaystyle{ g }[/math] копий [math]\displaystyle{ k }[/math]-ручек к диску [math]\displaystyle{ D^m }[/math], является (m, k)-телом с ручками рода g .

Представления кобордизмов

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где [math]\displaystyle{ \partial W = M_0 \cup M_1 }[/math] и фильтрации

[math]\displaystyle{ W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W }[/math]

где [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] являются [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерными многообразиями, [math]\displaystyle{ W }[/math]— [math]\displaystyle{ m+1 }[/math]-мерным, [math]\displaystyle{ W_{-1} }[/math] диффеоморфно [math]\displaystyle{ M_0 \times [0,1] }[/math], а [math]\displaystyle{ W_i }[/math] получается из [math]\displaystyle{ W_{i-1} }[/math] путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории Морса

Если задана функция Морса [math]\displaystyle{ f : M \to \mathbb R }[/math] на компактном многообразии M без края, таком что критические точки [math]\displaystyle{ \{p_1, \ldots, p_k\} \subset M }[/math] функции [math]\displaystyle{ f }[/math] удовлетворяют [math]\displaystyle{ f(p_1) \lt f(p_2) \lt \cdots \lt f(p_k) }[/math] и выполняется

[math]\displaystyle{ t_0 \lt f(p_1) \lt t_1 \lt f(p_2) \lt \cdots \lt t_{k-1} \lt f(p_k) \lt t_k }[/math],

тогда для всех j [math]\displaystyle{ f^{-1}[t_{j-1},t_{j}] }[/math] диффеоморфно [math]\displaystyle{ (f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)} }[/math], где [math]\displaystyle{ I(j) }[/math] — индекс критической точки [math]\displaystyle{ p_{j} }[/math]. Индекс [math]\displaystyle{ I(j) }[/math] соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства [math]\displaystyle{ T_{p_j}M }[/math], где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству [math]\displaystyle{ I(1) \leqslant I(2) \leqslant \cdots \leqslant I(k) }[/math], то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм [math]\displaystyle{ W }[/math] с [math]\displaystyle{ \partial W = M_0 \cup M_1 }[/math] и функция [math]\displaystyle{ f: W \to \mathbb R }[/math], которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — функция Морса [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ -f }[/math] также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

Некоторые главные теоремы и наблюдения

  • Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова [math]\displaystyle{ T^1 }[/math], а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
  • Если присоединить две ручки в последовательности [math]\displaystyle{ (M \cup_f H^i) \cup_g H^j }[/math], можно изменить порядок присоединения, обеспечивая [math]\displaystyle{ j \leqslant i }[/math], то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида [math]\displaystyle{ (M \cup H^j) \cup H^i }[/math] для подходящих отображений присоединения.
  • Граница [math]\displaystyle{ M \cup_f H^j }[/math] диффеоморфна [math]\displaystyle{ \partial M }[/math], разрезанному вдоль оснащённой сферы [math]\displaystyle{ f }[/math]. Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
  • Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из [math]\displaystyle{ S^m }[/math] хирургией на наборе оснащённых зацеплений в [math]\displaystyle{ S^m }[/math]. Например, известно, что любое 3-многообразие является границой 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
  • Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. также

Примечания

  1. ↑ Smale, 1962, с. 387–399.
  2. ↑ Скорпан, 2016, с. 46.

Литература

  • Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84.
    • Статья перепечатана в книге:S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4.
  • Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М.: МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7.

Основная литература

  • Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
  • Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0994-6.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Разложение_на_ручки&oldid=5849120