Разложение на ручки

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация
где каждое
Предпосылки
Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру
Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность
- дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в
.
Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем
Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл[1]. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение
где отношение эквивалентности
Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия
Терминология
Возьмём объединение M с j-ручкой
Многообразие, полученное присоединением
Представления кобордизмов
Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где
где
С точки зрения теории Морса
Если задана функция Морса
,
тогда для всех j
Если индексы удовлетворяют неравенству
Если
Некоторые главные теоремы и наблюдения
- Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова
, а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова. - Если присоединить две ручки в последовательности
, можно изменить порядок присоединения, обеспечивая , то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида для подходящих отображений присоединения. - Граница
диффеоморфна , разрезанному вдоль оснащённой сферы . Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса. - Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из
хирургией на наборе оснащённых зацеплений в . Например, известно, что любое 3-многообразие является границой 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей. - Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.
См. также
- Ручка Кассона[англ.]
- Теория [ко]бордизмов
- CW-комплекс
- Тело с ручками
- Исчисление Кирби[англ.]
- Разложение многообразия[англ.]
Примечания
- ↑ Smale, 1962, с. 387–399.
- ↑ Скорпан, 2016, с. 46.
Литература
- Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84.
- Статья перепечатана в книге:S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4.
- Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М.: МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7.
Основная литература
- Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
- Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0994-6.
Для улучшения этой статьи желательно: |