Неравенство Фробениуса

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

[math]\displaystyle{ \mathrm{rank}\,AB + \mathrm{rank}\,BC \leqslant \mathrm{rank}\,ABC + \mathrm{rank}\,B. }[/math]

В этом неравенстве размерности матриц [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] должны позволять существование матрицы [math]\displaystyle{ ABC }[/math] (т. е. эти матрицы имеют размерности [math]\displaystyle{ i \times j }[/math], [math]\displaystyle{ j \times k }[/math] и [math]\displaystyle{ k \times l }[/math] соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

Если [math]\displaystyle{ U \sub V }[/math] и [math]\displaystyle{ X: V \rightarrow W }[/math], то [math]\displaystyle{ \dim \mathrm{Ker}\,X_{U} \leqslant \dim \mathrm{Ker}\,X = \dim V - \dim \mathrm{Im}\,X }[/math].

Запишем это неравенство для [math]\displaystyle{ U = \mathrm{Im}\,BC, V = \mathrm{Im}\,B, X = A }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dim \mathrm{Ker}\,A_{\mathrm{Im}\,B} = \dim \mathrm{Im}\,B - \dim \mathrm{Im}\,AB }[/math]

Ясно также, что [math]\displaystyle{ \dim \mathrm{Ker}\,A_{\mathrm{Im}\,BC} = \dim \mathrm{Im}\,BC - \dim \mathrm{Im}\,ABC }[/math].

Второе доказательство

Рассмотрим блочную матрицу

[math]\displaystyle{ M= \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & ABC \end{pmatrix} }[/math],

применим к матрице [math]\displaystyle{ M }[/math] цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

[math]\displaystyle{ M= \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & ABC \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} B & 0 \\ AB & ABC \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} B & -BC \\ AB & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} BC & B \\ 0 & AB \end{pmatrix} }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \mathrm{rank}\,B + \mathrm{rank}\,ABC = \mathrm{rank}\,M = \mathrm{rank}\begin{pmatrix} BC & B \\ 0 & AB \end{pmatrix} \geqslant \mathrm{rank}\begin{pmatrix} BC & 0 \\ 0 & AB \end{pmatrix} = \mathrm{rank}\,AB + \mathrm{rank}\,BC }[/math]

Литература

• Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.