Неравенство Сильвестра

Нера́венство Сильве́стра — соотношение ранга произведения матриц с рангами исходных матриц:

[math]\displaystyle{ \mathrm{rk}\,A + \mathrm{rk}\,B \leqslant \mathrm{rk}\,AB + n }[/math],

где [math]\displaystyle{ n }[/math] — число столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и число строк матрицы [math]\displaystyle{ B }[/math]. Названо по имени английского математика XIX века Джеймса Сильвестра.

Результат непосредственно следует из неравенства Фробениуса ([math]\displaystyle{ E }[/math] — единичная матрица): [math]\displaystyle{ \mathrm{rk}\,AE + \mathrm{rk}\,EB \leqslant \mathrm{rk}\,AEB + \mathrm{rk}\,E. = \mathrm{rk}\,AB + n }[/math].

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.