Теорема Кронекера — Капелли

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Доказана Леопо́льдом Кро́некером, Альфре́до Капе́лли.

Пояснения

Система уравнений [math]\displaystyle{ Ax=B }[/math] разрешима тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \operatorname{rang} A = \operatorname{rang}(A|B) }[/math], где [math]\displaystyle{ (A|B) }[/math] — расширенная матрица, полученная из матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] приписыванием столбца [math]\displaystyle{ B }[/math].

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n\in\mathbb R }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ b=x_1 a_1+\dots+x_n a_n }[/math]. Следовательно, столбец [math]\displaystyle{ b }[/math] является линейной комбинацией столбцов [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_n }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что [math]\displaystyle{ \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A|B }[/math].

Достаточность

Пусть [math]\displaystyle{ \operatorname{rang} A = \operatorname{rang} A|B = r }[/math]. Возьмём в матрице [math]\displaystyle{ A }[/math] какой-нибудь базисный минор. Так как [math]\displaystyle{ \operatorname{rang} A|B = r }[/math], то он же будет базисным минором и матрицы [math]\displaystyle{ A|B }[/math]. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы [math]\displaystyle{ A|B }[/math] будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

• Матрица (математика)
• Кро́некер, Леопо́льд
• Капе́лли, Альфре́до

Литература

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.