Разложение простых идеалов в расширениях Галуа

Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов [math]\displaystyle{ P }[/math] кольца целых [math]\displaystyle{ O_K }[/math] поля алгебраических чисел [math]\displaystyle{ K }[/math] в кольце целых [math]\displaystyle{ O_L }[/math] расширении Галуа [math]\displaystyle{ L/K }[/math] с группой Галуа [math]\displaystyle{ G }[/math]. Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.

Определения

Пусть [math]\displaystyle{ L/K }[/math] — конечное расширение числового поля, а [math]\displaystyle{ O_K }[/math] и [math]\displaystyle{ O_L }[/math] — кольца целых чисел [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ L }[/math] соответственно.

[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccc} O_K &\hookrightarrow & O_L \\ \downarrow & & \downarrow \\ K &\hookrightarrow & L \end{array} }[/math]

Наконец, пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] является ненулевым простым идеалом в [math]\displaystyle{ O_K }[/math] или, что эквивалентно, максимальным идеалом, так что факторкольцо [math]\displaystyle{ O_K/P }[/math] — поле.

Из основ теории одномерного кольца следует существование единственного разложения идеала [math]\displaystyle{ P }[/math]:

[math]\displaystyle{ P = \prod\limits_{j=1}^{g} P_j^{e_j}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_j }[/math] — различные максимальные идеалы, а [math]\displaystyle{ e_j\geqslant 1 }[/math] — их кратность.

Поле [math]\displaystyle{ F=O_K/P }[/math] естественно вкладывается в [math]\displaystyle{ F_j=O_L/P_j }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ j }[/math], степень [math]\displaystyle{ f_j=[O_L/P_j:O_K/P] }[/math] этого расширения поля вычетов называется степенью инерции [math]\displaystyle{ P_j }[/math] над [math]\displaystyle{ P }[/math].

Показатель [math]\displaystyle{ e_j }[/math] называется индексом ветвления [math]\displaystyle{ P_j }[/math] над [math]\displaystyle{ P }[/math]. Если [math]\displaystyle{ e_j\gt 1 }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ j }[/math], то расширение [math]\displaystyle{ L/K }[/math] называется разветвленным в [math]\displaystyle{ P }[/math] (или мы говорим, что [math]\displaystyle{ P }[/math] разветвляется в [math]\displaystyle{ L }[/math]). В противном случае [math]\displaystyle{ L/K }[/math] называется неразветвленным в [math]\displaystyle{ P }[/math]. Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор [math]\displaystyle{ O_L/P }[/math] является произведением полей [math]\displaystyle{ F_j }[/math]. [math]\displaystyle{ P }[/math] разветвлён тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант, значит неразветвлено лишь конечное число простых идеалов.

Из мультипликативности нормы идеала вытекает

[math]\displaystyle{ [L:K]=\sum\limits_{j=1}^{g} e_j f_j. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ f_j=e_j }[/math] для всех [math]\displaystyle{ j }[/math] (и, следовательно, [math]\displaystyle{ g=[L:K] }[/math]), то говорим, что [math]\displaystyle{ P }[/math] полностью разлагается в [math]\displaystyle{ L }[/math]. Если [math]\displaystyle{ g=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f_1=1 }[/math] (и поэтому [math]\displaystyle{ e_1=[L:K] }[/math]), мы говорим, что [math]\displaystyle{ P }[/math] полностью разветвляется в [math]\displaystyle{ L }[/math]. Наконец, если [math]\displaystyle{ g=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ e_1=1 }[/math] (и поэтому [math]\displaystyle{ f_1=[L:K] }[/math]), мы говорим, что [math]\displaystyle{ P }[/math] инертен в [math]\displaystyle{ L }[/math].

Разложение в расширениях Галуа

Пусть [math]\displaystyle{ L/K }[/math] является расширением Галуа. Тогда группа Галуа [math]\displaystyle{ G =\operatorname{Gal} (L/K) }[/math] действует транзитивно на [math]\displaystyle{ P_j }[/math]. То есть простые идеальные множители в разложении [math]\displaystyle{ P }[/math] в [math]\displaystyle{ L }[/math] образуют единую орбиту при действии автоморфизма [math]\displaystyle{ L }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math]. Из этого и теореме о единственности факторизации следует, что [math]\displaystyle{ f=f_j }[/math] и [math]\displaystyle{ e=e_j }[/math] не зависят от [math]\displaystyle{ j }[/math]. Тогда полученные соотношения принимают вид

[math]\displaystyle{ P = \left(\prod\limits_{j=1}^{g} P_j\right)^e }[/math].

и

[math]\displaystyle{ [L:K]=efg. }[/math]

Отсюда следует, что [math]\displaystyle{ [L: K]/ef=g }[/math] — числу простых коэффициентов [math]\displaystyle{ P }[/math] в [math]\displaystyle{ O_L }[/math]. По формуле числа элементов в орбите [math]\displaystyle{ g=|G|/|D_{P_j}| }[/math] для всех [math]\displaystyle{ j }[/math], где [math]\displaystyle{ D_{P_j}=\{\sigma\in G: \sigma(P_j)=P_j\} }[/math] — стабилизатор [math]\displaystyle{ P_j }[/math], называемый группой разложения идеала [math]\displaystyle{ P_j }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ [L:K]=|G| }[/math] по базовой теории Галуа, то порядок группы разложения [math]\displaystyle{ |D_{P_j}|=ef }[/math] для всех [math]\displaystyle{ j }[/math].

Группа разложения содержит нормальную подгруппу [math]\displaystyle{ I_{P_j} }[/math], называемую группой инерции [math]\displaystyle{ P_j }[/math], состоящую из автоморфизмов [math]\displaystyle{ L/K }[/math], которые индуцируют тождественный автоморфизм на [math]\displaystyle{ F_j=O_L/P_j }[/math]. Другими словами, [math]\displaystyle{ I_{P_j} }[/math] является ядром редукционного отображения [math]\displaystyle{ D_{P_j}\to\operatorname {Gal} (F_j/F) }[/math]. Можно показать, что это отображение является сюръективным, и из этого следует, что [math]\displaystyle{ \operatorname {Gal} (F_j/F)\cong D_{P_j}/I_{P_j} }[/math] и [math]\displaystyle{ |I_{P_j}|=e }[/math].

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент [math]\displaystyle{ D_{P_j}/I_{P_j} }[/math] для данного [math]\displaystyle{ j }[/math], что соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля [math]\displaystyle{ F_j/F }[/math]. В неразветвленном случае порядок [math]\displaystyle{ |D_{P_j}|=f }[/math] и [math]\displaystyle{ I_{P_j} }[/math] тривиально. Кроме того, элемент Фробениуса в этом случае является элементом [math]\displaystyle{ D_{P_j} }[/math] (и, следовательно, также элемент из [math]\displaystyle{ G }[/math]).

Разложение простых идеалов в полях, которые не являются расширениями Галуа, можно изучать с помощью поля разложения, то есть с помощью расширения Галуа, которое содержит исходное поле, но несколько больше, чем оно. Например, кубическое поле обычно вкладывается в расширение Галуа степени 6.

Пример — целые гауссовы числа

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q} }[/math]. То есть мы берем [math]\displaystyle{ K=\mathbb{Q} }[/math] и [math]\displaystyle{ L=\mathbb{Q}(i) }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ O_K=\mathbb{Z} }[/math] и [math]\displaystyle{ O_L=\mathbb{Z}[i] }[/math] — кольцо гауссовых целых чисел. Хотя этот случай далек от репрезентативного, поскольку [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math] — Факториальное кольцо и конечное небольшое число квадратичных полей с единственным разложением на множители — он показывает многие из особенностей теории.

Обозначим [math]\displaystyle{ G }[/math] — группа Галуа [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q} }[/math], [math]\displaystyle{ G=\{1,\sigma\} }[/math], где [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — комплексно-сопряженный автоморфизм. Рассмотрим три случая.

Простое p = 2

Простое 2 в [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] разветвляется [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math]:

[math]\displaystyle{ (2)=((1+i)^2) }[/math]

Индекс ветвления [math]\displaystyle{ e=2 }[/math]. Поле вычетов здесь равно

[math]\displaystyle{ O_L/(1+i)O_L\cong\mathbb{F}_2 }[/math]

— конечное поле из 2-х элементов. Группа разложения [math]\displaystyle{ D_{(1+i)}=G }[/math], так как существует только одно из чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math] выше 2. Группа инерции [math]\displaystyle{ I_{1+i}=G }[/math], так как

[math]\displaystyle{ a+bi\equiv a-bi\bmod{1+i} }[/math]

для всех целых [math]\displaystyle{ a,b }[/math]

На самом деле, 2 — это единственное простое, которое разветвляется в [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math], так как каждое разветвляющееся простое должно делить дискриминант [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math], который равен [math]\displaystyle{ -4 }[/math].

Простые p ≡ 1 mod 4

Любое простое [math]\displaystyle{ p\equiv 1\pmod 4 }[/math] разлагается в произведение двух различных простых идеалов в [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math]; это фактически теорема Ферма о сумме двух квадратов. Например:

[math]\displaystyle{ 13=(2+3i)(2-3i)=2^2+3^2 }[/math]

Обе группы разложения в этом случае тривиальны: [math]\displaystyle{ G_{2\pm 3i}\{1\} }[/math], поскольку автоморфизм [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] переставляет [math]\displaystyle{ (2+3i) }[/math] и [math]\displaystyle{ (2-3i) }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ \sigma\not\in G_{2\pm 3i} }[/math]. Группа инерции, также является тривиальной группой как подгруппа группы разложения. Существует два поля вычетов: по одному для каждого простого:

[math]\displaystyle{ O_L/(2 \pm 3i)O_L\, }[/math]

которые изоморфны [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_{13} }[/math]. Элемент Фробениуса будет тривиальным автоморфизмом, это означает, что

[math]\displaystyle{ (a+bi)^{13}\equiv a + bi\pmod{2\pm 3i} }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z} }[/math]

Простые p ≡ 3 mod 4

Любое простое [math]\displaystyle{ p:p\equiv 3\pmod 4 }[/math], например [math]\displaystyle{ 7 }[/math], остается простым, инертным, в [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math], то есть не разлагается. В этой ситуации группа разложения [math]\displaystyle{ G_{7}=G }[/math], потому что [math]\displaystyle{ \sigma(7)=7 }[/math]. Однако эта ситуация отличается от случая [math]\displaystyle{ p=2 }[/math], потому что теперь [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] не действует тривиально на поле вычетов [math]\displaystyle{ O_L/(7)O_L\cong\mathbb{F}_{7^2} }[/math]. Например, [math]\displaystyle{ 1+i\not\equiv 1-i \pmod 7 }[/math]. Следовательно, группа инерции тривиальна: [math]\displaystyle{ I_7=\{1\} }[/math]. Группа Галуа [math]\displaystyle{ O_L/(7)O_L }[/math] над подполем [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} }[/math] имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус — это не что иное, как [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] это значит, что

[math]\displaystyle{ (a+bi)^7\equiv a-bi\bmod7 }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z} }[/math]

Сводка

Простое в [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]	Как разлагается в [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math]	Группа инерции	Группа разложения
[math]\displaystyle{ p=2 }[/math]	Разветвляется с индексом 2	[math]\displaystyle{ G }[/math]	[math]\displaystyle{ G }[/math]
[math]\displaystyle{ p\equiv 1\pmod 4 }[/math]	Разлагается на 2 различных простых множителя	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]
[math]\displaystyle{ p\equiv 3\pmod 4 }[/math]	Инертно, остается простым	[math]\displaystyle{ \{1\} }[/math]	[math]\displaystyle{ G }[/math]

Вычисление факторизации идеала

Предположим, что мы хотим разложить простой идеал [math]\displaystyle{ P }[/math] кольца [math]\displaystyle{ O_K }[/math] в простые идеалы кольца [math]\displaystyle{ O_L }[/math]. Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число [math]\displaystyle{ \theta\in O_L }[/math], такое что [math]\displaystyle{ L=K(\theta) }[/math] (такое [math]\displaystyle{ \theta }[/math] существует по теореме о примитивном элементе), а затем изучить минимальный многочлен [math]\displaystyle{ H(X) }[/math] элемента [math]\displaystyle{ \theta }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math]. Редуцируя коэффициенты [math]\displaystyle{ H(X) }[/math] по модулю [math]\displaystyle{ P }[/math], получим многочлен [math]\displaystyle{ h(X) }[/math] с коэффициентами из конечного поля [math]\displaystyle{ F=O_K/P }[/math]. Предположим, что [math]\displaystyle{ h(X) }[/math] факторизуется в полиномиальном кольце [math]\displaystyle{ F[X] }[/math] как

[math]\displaystyle{ h(X) = h_1(X)^{e_1} \cdots h_n(X)^{e_n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ h_j }[/math] — различные неприводимые многочлены в [math]\displaystyle{ F[X] }[/math]. Тогда, если [math]\displaystyle{ P }[/math] не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), разложение [math]\displaystyle{ P }[/math] имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ P O_L = Q_1^{e_1} \cdots Q_n^{e_n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Q_j }[/math] — различные простые идеалы [math]\displaystyle{ O_L }[/math]. Кроме того, степень инерции каждого [math]\displaystyle{ Q_j }[/math] равна степени соответствующего многочлена [math]\displaystyle{ h_j }[/math], и существует явная формула для [math]\displaystyle{ Q_j }[/math]:

[math]\displaystyle{ Q_j = P O_L + h_j(\theta) O_L, }[/math]

где [math]\displaystyle{ h_j }[/math] обозначает здесь подъём многочлена [math]\displaystyle{ h_j }[/math] в [math]\displaystyle{ K[X] }[/math].

В случае расширения Галуа степени инерции равны, а индексы ветвления [math]\displaystyle{ e_1=...=e_n }[/math].

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не всегда имеет место, являются теми, которые не являются взаимно простыми по отношению к кондуктору кольца [math]\displaystyle{ O_K[\theta] }[/math]. Кондуктор определяется как идеал

[math]\displaystyle{ \{ y \in O_L : yO_L \subseteq O_K[\theta]\}; }[/math]

он измеряет, насколько порядок [math]\displaystyle{ O_K[\theta] }[/math] является полным кольцом целых чисел (максимальный порядок) [math]\displaystyle{ O_L }[/math].

Существенным препятствием является то, что существуют такие [math]\displaystyle{ L/K }[/math] и [math]\displaystyle{ P }[/math], для которых нет [math]\displaystyle{ \theta }[/math], удовлетворяющего вышеприведенным гипотезам (см., например,). Поэтому приведенный выше алгоритм нельзя использовать для определения такого [math]\displaystyle{ P }[/math], и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанные в.

Пример расчёта

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы возьмем [math]\displaystyle{ \theta = i }[/math] — мнимую единицу [math]\displaystyle{ H(X)=X^2+1 }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math] — кольцо целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(i) }[/math], кондуктор является единичным идеалом, поэтому нет исключительных простых чисел.

Для [math]\displaystyle{ P=(2) }[/math] нам нужно работать в поле [math]\displaystyle{ \mathbb Z/2\mathbb Z }[/math], что сводится к разложению многочлена [math]\displaystyle{ X^2+1 }[/math] по модулю 2:

[math]\displaystyle{ X^2 + 1 = (X+1)^2 \pmod 2. }[/math]

Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается формулой

[math]\displaystyle{ Q = (2)\mathbb Z[i] + (i+1)\mathbb Z[i] = (1+i)\mathbb Z[i]. }[/math]

Следующий случай для [math]\displaystyle{ P=(p) }[/math] для простого [math]\displaystyle{ p\equiv 3\pmod 4 }[/math]. Например, возьмем [math]\displaystyle{ P=(7) }[/math]. Многочлен [math]\displaystyle{ X^2+1 }[/math] неприводим по модулю 7. Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 2 и индексом ветвления 1 и он задается формулой

[math]\displaystyle{ Q = (7)\mathbb Z[i] + (i^2 + 1)\mathbb Z[i] = 7\mathbb Z[i]. }[/math]

Последний случай — [math]\displaystyle{ P=(p) }[/math] для простого [math]\displaystyle{ p\equiv 1\pmod 4 }[/math]; мы снова возьмем [math]\displaystyle{ P=(13) }[/math]. На этот раз мы имеем разложение

[math]\displaystyle{ X^2 + 1 = (X + 5)(X - 5) \pmod{13}. }[/math]

Поэтому существуют два основных множителя, как с степенью инерции, так и с индексом ветвления равным 1. Они даются выражением

[math]\displaystyle{ Q_1 = (13)\mathbb Z[i] + (i + 5)\mathbb Z[i] = \cdots = (2+3i)\mathbb Z[i] }[/math]

and

[math]\displaystyle{ Q_2 = (13)\mathbb Z[i] + (i - 5)\mathbb Z[i] = \cdots = (2-3i)\mathbb Z[i]. }[/math]

Ссылки

• PlanetMath, Splitting and ramification in number fields and Galois extensions, <http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6818> 
• William Stein, A brief introduction to classical and adelic algebraic number theory, <http://www.williamstein.org/papers/ant/> 

Литература

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.