Эндоморфизм Фробениуса

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math], задаётся формулой [math]\displaystyle{ x\mapsto x^p }[/math]. В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства

Пусть [math]\displaystyle{ R }[/math] — коммутативное кольцо простой характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math] (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] определяется формулой [math]\displaystyle{ F(x)=x^p }[/math]. Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как [math]\displaystyle{ (xy)^p=x^py^p, (x+y)^p=x^p+y^p }[/math] (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на [math]\displaystyle{ p }[/math]).

Если [math]\displaystyle{ \varphi:R\to S }[/math] — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math], то [math]\displaystyle{ \varphi (x^p)=(\varphi(x))^p }[/math], то есть: [math]\displaystyle{ \varphi\circ F_R=F_S\circ\varphi }[/math].

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math]) в себя.

Если кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если [math]\displaystyle{ x }[/math] — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени [math]\displaystyle{ n }[/math], то [math]\displaystyle{ (x^{n-1})^p=0 }[/math]. Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если [math]\displaystyle{ R }[/math] является полем. Например, пусть [math]\displaystyle{ R=\mathbb F_p(t) }[/math] — поле рациональных функций с коэффициентами в [math]\displaystyle{ \mathbb F_p }[/math], тогда функция [math]\displaystyle{ t }[/math] не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле [math]\displaystyle{ K }[/math] называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки

Рассмотрим конечное поле [math]\displaystyle{ \mathbb F_p }[/math]. Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению [math]\displaystyle{ x^p=x }[/math]. Уравнение [math]\displaystyle{ p }[/math]-й степени не может иметь более [math]\displaystyle{ p }[/math] корней, следовательно, в любом расширении поля [math]\displaystyle{ \mathbb F_p }[/math] неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля [math]\displaystyle{ \mathbb F_p }[/math]. Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math].

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если [math]\displaystyle{ \mathbb F_{p^k} }[/math] — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению [math]\displaystyle{ x^{p^k}=x }[/math] и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками [math]\displaystyle{ k }[/math]-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками [math]\displaystyle{ x\mapsto x^{p^k} }[/math].

Порождающий элемент группы Галуа

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb F_q }[/math] — конечное поле, где [math]\displaystyle{ q=p^n }[/math]. Эндоморфизм Фробениуса [math]\displaystyle{ F }[/math] сохраняет элементы простого поля [math]\displaystyle{ \mathbb F_p }[/math], поэтому он является элементом группы Галуа расширения [math]\displaystyle{ \mathbb F_q\supset\mathbb F_p }[/math]. Оказывается, что эта группа является циклической и порождается [math]\displaystyle{ F }[/math]. Порядок этой группы равен [math]\displaystyle{ n }[/math], так как эндоморфизм [math]\displaystyle{ x\mapsto x^q }[/math] действует на [math]\displaystyle{ \mathbb F_q }[/math] тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении [math]\displaystyle{ \mathbb F_{q^k}\supset\mathbb F_q }[/math] основное поле фиксируется [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается [math]\displaystyle{ F^n }[/math] и имеет порядок [math]\displaystyle{ k }[/math].

См. также

• Первообразный корень из единицы

Литература

• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.
• Фробениуса автоморфизм — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин
• Фробениуса эндоморфзим — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин