Теорема Бейкера — Хегнера — Старка

Запрос «Число Хегнера» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Теорема Бейкера — Хегнера — Старка — утверждение алгебраической теории чисел о том, какие в точности квадратичные комплексные числовые поля позволяют единственное разложение в его кольце целых чисел. Теорема решает специальный случай гауссовой задачи числа классов, в которой требуется определить число мнимых квадратичных полей, которые имеют заданное фиксированное число классов.

Алгебраическое числовое поле [math]\displaystyle{ \Q(\sqrt{d}) }[/math] (где [math]\displaystyle{ d }[/math] — целое число, не являющееся квадратом) является конечным расширением поля рациональных чисел [math]\displaystyle{ \Q }[/math] порядка 2, называемым квадратичным расширением. Число классов поля [math]\displaystyle{ \Q(\sqrt{d}) }[/math] — это число классов эквивалентности идеалов кольца целых чисел поля [math]\displaystyle{ \Q(\sqrt{d}) }[/math], где два идеала [math]\displaystyle{ I }[/math] и [math]\displaystyle{ J }[/math] эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют главные идеалы [math]\displaystyle{ (a) }[/math]) и [math]\displaystyle{ (b) }[/math], такие что [math]\displaystyle{ (a)I = (b)J }[/math]. Тогда кольцо целых чисел поля [math]\displaystyle{ \mathbf{Q}(\sqrt{d}) }[/math] является областью главных идеалов (а следовательно, областью с единственным разложением) тогда и только тогда, когда число классов поля [math]\displaystyle{ \mathbf{Q}(\sqrt{d}) }[/math] равно 1. Таким образом, теорему Бейкера — Хегнера — Старка можно сформулировать так: если [math]\displaystyle{ d\lt 0 }[/math], то число классов поля [math]\displaystyle{ \Q(\sqrt{d}) }[/math] равно 1 тогда и только тогда, когда:

[math]\displaystyle{ d \in \{\, -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163\,\} }[/math].

Эти числа известны как числа Хегнера.

При замене −1 на −4, а −2 на −8 (что не меняет поля), список может быть записан следующим образом:

[math]\displaystyle{ D=-3, -4, -7, -8, -11, -19, -43, -67, -163\, }[/math],

где [math]\displaystyle{ D }[/math] интерпретируется как дискриминант (либо алгебраического поля, либо эллиптической кривой с комплексным умножением). Это более стандартный подход, так как [math]\displaystyle{ D }[/math] тогда является Фундаментальный дискриминант.

История

Гипотеза была сформулирована Гауссом в параграфе 303 «Арифметических исследований». Первое доказательство дал Курт Хегнер в 1952 году, но оно содержало ряд технических недостатков и не было принято математиками, пока Харольд Старк не дал полное строгое доказательство в 1967 году, имевшее много общего с работой Хегнера. Хегнер «умер до того, как кто-либо действительно понял, что он сделал». В других работах были даны похожие доказательства с помощью модулярных функций, но Старк концентрировался исключительно на заполнении пробелов Хегнера, окончательно достроив его в 1969 году.

Алан Бейкер дал полностью отличное доказательство несколько ранее (1966) работы Старка (точнее, Бейкер свёл результат к конечному числу вычислений, хотя Старк в тезисах 1963/4 уже эти вычисления провёл) и получил Филдсовскую премию за свои методы. Старк позднее указал, что доказательство Бейкера, использующее линейные формы в 3 логарифмах, можно свести к 2 логарифмам, если бы результат был известен в 1949 году Гельфонду и Линнику.

В работе 1969 года Старк также цитировал текст 1895 года Генриха Мартина Вебера и отметил, что если бы Вебер «заметил, что сводимость [некоторых уравнений] приводит к диофантову уравнению, задач о числе классов могла бы быть решена 60 лет назад». Брайан Бёрч заметил, что книга Вебера, и, по существу, всё поле модульных функций, выпало из рассмотрения на полстолетия: «К сожалению, в 1952 не осталось кого-либо, кто был достаточным экспертом в Алгебре Вебера, чтобы оценить достижение Хегнера».

Дойринг, Зигель и Чоула дали слегка другой вариант доказательства на основе модулярных функций сразу после Старка. Другие версии в этом жанре всплывали многие годы. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство, используя квартику Клейна (хотя также с использованием модулярных функций). Затем в 1999 Имин Чен дал другой вариант доказательства с использованием модулярных функций (согласно наброску Зигеля).

Работа Гросса и Цагира (1986) в комбинации с работой Гольдфельда (1976) также дают альтернативное доказательство.

Вещественный случай

Неизвестно, имеется ли бесконечно много [math]\displaystyle{ d\gt 0 }[/math], для которых [math]\displaystyle{ \Q(\sqrt{d}) }[/math] имеет число классов 1. Вычислительные результаты показывают, что таких полей существует много; ведётся список числовых полей с числом классов 1.

Литература

• Bryan Birch. Heegner Points: The Beginnings // MSRI Publications. — 2004. — Т. 49. — С. 1–10.
• Imin Chen. On Siegel's Modular Curve of Level 5 and the Class Number One Problem // J. Number Theory. — 1999. — Т. 74. — С. 278–297. — doi:10.1006/jnth.1998.2320.
• S. Chowla. The Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel Theorem // Crelle. — 1970. — Т. 241. — С. 47–48.
• Henri Darmon. Preface to Heegner Points and Rankin L-Series // MSRI Publications. — 2004. — Т. 49. — С. ix-xiii.
• Noam D. Elkies. The Klein Quartic in Number Theory // The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 35. — С. 51–101. — (MSRI Publications).
• Dorian M. Goldfeld. Gauss's class number problem for imaginary quadratic fields // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1985. — Т. 13. — С. 23–37. — doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2.
• Benedict H. Gross, Don B. Zagier. Heegner points and derivatives of L-series // Inventiones Mathematicae. — 1986. — Т. 84. — С. 225–320. — doi:10.1007/BF01388809.
• Kurt Heegner. Diophantische Analysis und Modulfunktionen // Mathematische Zeitschrift. — 1952. — Т. 56. — С. 227–253. — doi:10.1007/BF01174749.
• Kenku M. Q. A note on the integral points of a modular curve of level 7 // Mathematika. — 1985. — Т. 32. — С. 45–48. — doi:10.1112/S0025579300010846.
• The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 35. — (MSRI Publications).
• Stark H. M. On the gap in the theorem of Heegner // Journal of Number Theory. — 1969a. — Т. 1. — С. 16–27. — doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7.
• Stark H. M. A historical note on complex quadratic fields with class-number one. // Proc. Amer. Math. Soc.. — 1969b. — Т. 21. — С. 254–255. — doi:10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X.
• Stark H. M. The Origin of the "Stark" conjectures. — 2011. — Т. appearing in Arithmetic of L-functions.