h-кобордизм

h-кобордизм — бордизм [math]\displaystyle{ (W; M, M') }[/math], где [math]\displaystyle{ W }[/math] — компактное дифференцируемое многообразие, край которого [math]\displaystyle{ \partial W }[/math] — объединение непересекающихся замкнутых многообразий [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math], являющихся деформационными ретрактами [math]\displaystyle{ W }[/math]. Простейший пример — тривиальный [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизм

[math]\displaystyle{ (M\times [0,1]; M\times 0,M\times 1). }[/math]

Многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math] называются [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордантными, если существует [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизм [math]\displaystyle{ (W; M, M') }[/math] соединяющий их.

Теорема об [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизме даёт условия на то, когда [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизм является тривиальным. Теорему первым доказал Стивен Смейл, который получил премию Филдса за результаты связанные с этой теоремой. С помощью теоремы он доказал обобщенную гипотезу Пуанкаре для размерностей [math]\displaystyle{ \geq 5 }[/math].

Свойства

• (Теорема об [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизме) Если [math]\displaystyle{ (W; M, M') }[/math] — [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизм, а [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math] — односвязные гладкие (или кусочно линейные) многообразия и [math]\displaystyle{ \operatorname{dim} W\ge 6 }[/math], то [math]\displaystyle{ W }[/math] диффеоморфно (кусочно линейно изоморфно) тривиальному [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизму.
  • В частности, [math]\displaystyle{ M }[/math] диффеоморфно [math]\displaystyle{ M' }[/math].

Вариации и обобщения

• Если убрать условие односвязности кобордантных многообразий [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ M' }[/math], то препятствием к тривиальности кобордизма между ними является кручение Уайтхеда. Теорема об [math]\displaystyle{ s }[/math]-кобордизме гласит, что кобордизм между двумя многообразиями является тривиальным тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда обнуляется.

Литература

• Милнор, Дж., Теорема об [math]\displaystyle{ h }[/math]-кобордизме, М., 1969;
• Smale S., Generalized Poincare's Conjecture in Dimensions Greater Than Four , The Ann. of Math., 2nd Ser., Vol 74, No. 2. (Sep ., 1961), pp. 391-406.