Псевдосфера

Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История

Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью.

Характеристики

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

[math]\displaystyle{ x = a \sin u }[/math],

[math]\displaystyle{ y = 0 }[/math],

[math]\displaystyle{ z = a \left(\ln \operatorname{tg} \frac{u}{2} + \cos u\right), \quad 0 \le u \le \frac{\pi}{2} }[/math],

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

[math]\displaystyle{ x = a \sin u \cos v }[/math],

[math]\displaystyle{ y = a \sin u \sin v }[/math],

[math]\displaystyle{ z = a \left(\ln \operatorname{tg} \frac{u}{2} + \cos u\right) }[/math],

[math]\displaystyle{ 0 \le u \le \frac{\pi}{2}, \ 0 \le v \le 2\pi }[/math].

Первая квадратичная форма:

[math]\displaystyle{ ds^2=a^2\operatorname{ctg}^2u \,du^2+a^2\sin^2u \,dv^2 }[/math]

Вторая квадратичная форма:

[math]\displaystyle{ \phi _2 = a(-\operatorname{ctg} u\, du^2+\sin u\cos u \,dv^2) }[/math]

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².

Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы ([math]\displaystyle{ 4 \pi a^2 }[/math]), объём — половина от объёма шара ([math]\displaystyle{ \tfrac{2}{3}\pi a^3 }[/math]).

Вариации и обобщения

Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского, ограниченной орициклом.

Источники

Псевдосфера. — Прикладная математика
Псевдосфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, М., 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, М., 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, М., 2000.
Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, М., 1982.