Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах — фундаментальная теорема стереометрии.

Формулировка

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство

Пусть [math]\displaystyle{ AB }[/math] — перпендикуляр к плоскости [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], [math]\displaystyle{ AC }[/math] — наклонная и [math]\displaystyle{ c }[/math] — прямая в плоскости [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], проходящая через точку [math]\displaystyle{ C }[/math] и перпендикулярная проекции [math]\displaystyle{ BC }[/math]. Проведём прямую [math]\displaystyle{ CK }[/math] параллельно прямой [math]\displaystyle{ AB }[/math]. Прямая [math]\displaystyle{ CK }[/math] перпендикулярна плоскости [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] (так как она параллельна [math]\displaystyle{ AB }[/math]), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, [math]\displaystyle{ CK }[/math] перпендикулярна прямой [math]\displaystyle{ c }[/math]. Проведём через параллельные прямые [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ CK }[/math] плоскость [math]\displaystyle{ \beta }[/math] (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая [math]\displaystyle{ c }[/math] перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости [math]\displaystyle{ \beta }[/math], это [math]\displaystyle{ BC }[/math] по условию и [math]\displaystyle{ CK }[/math] по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой [math]\displaystyle{ AC }[/math].

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательство

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК , значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

Пример использования

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

Ссылки

• Опорные задачи