Вполне ограниченное множество

Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

Замечания

Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств [math]\displaystyle{ \mathbb{R^n} }[/math]. Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной [math]\displaystyle{ a }[/math]. Затем — разбить его на [math]\displaystyle{ k^n }[/math]кубиков со сторонами [math]\displaystyle{ a/k }[/math]. Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением [math]\displaystyle{ k }[/math].
Если на конечномерном пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R^n} }[/math] вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика [math]\displaystyle{ d(x,y)= \min(1,\mid x-y\mid) }[/math] или дискретная метрика.
В бесконечномерном пространстве [math]\displaystyle{ l^2 }[/math]ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида [math]\displaystyle{ e_i = ( 0 \dots0, 1, 0 \dots 0) }[/math], [math]\displaystyle{ i\in\mathbb{N} }[/math].
В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность. Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи.
Иногда термин «вполне ограниченность» (англ. totally bounded) путают с термином «полная ограниченность» (англ. completely bounded). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 106 с.