Несократимая дробь

В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида [math]\displaystyle{ \pm \frac{m}{n} }[/math], которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math]. Например, дробь [math]\displaystyle{ \frac{121}{90} }[/math] несократима, а [math]\displaystyle{ \frac{120}{90} }[/math] можно сократить: [math]\displaystyle{ \frac{120}{90}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}. }[/math]

Обыкновенные дроби

Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида [math]\displaystyle{ \frac m n, }[/math] где [math]\displaystyle{ m }[/math] — целое число, а [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю [math]\displaystyle{ n }[/math] быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:

[math]\displaystyle{ -\frac{4}{5} = \frac{-4}{5} = \frac{4}{-5} }[/math]

Для приведения обыкновенной дроби [math]\displaystyle{ \pm \frac m n }[/math] к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель НОД[math]\displaystyle{ (m,n). }[/math] Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

[math]\displaystyle{ n = \frac n 1\ }[/math]

Вариации и обобщения

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.

Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида [math]\displaystyle{ a+bi, }[/math] где [math]\displaystyle{ a,b }[/math] — целые числа. Делителей единицы четыре: [math]\displaystyle{ 1; -1; i; -i. }[/math] Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить, что дробь [math]\displaystyle{ \frac{4+2i}{4+7i} }[/math] может быть сокращена до (уже несократимой) [math]\displaystyle{ \frac{2}{3+2i}. }[/math]

Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.

Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида [math]\displaystyle{ a = m + i n \sqrt{5} }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math], [math]\displaystyle{ n }[/math] — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:

[math]\displaystyle{ \frac{6}{3(1+i\sqrt{5})} = \frac{2}{1+i\sqrt{5}} = \frac{1 - i\sqrt{5}} {3} }[/math]

У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Reduced Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.