Мультиоператорная группа

Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, операторной группы (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).

Введена в 1956 году английским математиком Филипом Хиггинсом как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.

Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и почтиполе. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольца и мультиоператорные алгебры.

Определения

Мультиоператорная группа или [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]-группа — алгебра [math]\displaystyle{ \mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle }[/math], образующая группу [math]\displaystyle{ \langle G, +, -, 0 \rangle }[/math], притом для всякой [math]\displaystyle{ n }[/math]-арной операции [math]\displaystyle{ \sigma \in \Sigma }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ \sigma(0, \dots, 0) = 0 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math] образует подсистему в [math]\displaystyle{ \mathfrak G }[/math]. Принимается, что часть сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]-группа.

Нормальная подгруппа [math]\displaystyle{ N }[/math] группы [math]\displaystyle{ \langle G, +, -, 0 \rangle }[/math] называется идеалом мультиоператорной группы [math]\displaystyle{ \mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle }[/math], если для любой [math]\displaystyle{ n }[/math]-арной операции [math]\displaystyle{ \sigma \in \Sigma }[/math], произвольных [math]\displaystyle{ g_i \in G }[/math] ([math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \leqslant n }[/math]) и [math]\displaystyle{ a \in N }[/math] все элементы вида:

[math]\displaystyle{ -\sigma(g_1, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \dots, g_n) }[/math]

вновь принадлежат [math]\displaystyle{ N }[/math]. Может использоваться обозначение [math]\displaystyle{ N \triangleleft \mathfrak G }[/math] по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.

Коммутатор элементов [math]\displaystyle{ g_1, g_2 }[/math] мультиоператорной группы [math]\displaystyle{ \mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle }[/math] определяется как элемент [math]\displaystyle{ -g_1 - g_2 + g_1 + g_2 }[/math], обозначается [math]\displaystyle{ [g_1, g_2] }[/math].

Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами [math]\displaystyle{ [g, h] }[/math] и элементами вида:

[math]\displaystyle{ -\sigma(g_1, \dots, g_n) - \sigma(h_1, \dots, h_n) + \sigma (g_1 + h_1, \dots, g_n + h_n) }[/math]

для всякой [math]\displaystyle{ n }[/math]-арной операции [math]\displaystyle{ \sigma \in \Sigma }[/math] из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Свойства идеала

Основная статья: Идеал (алгебра)

Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.

Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов [math]\displaystyle{ \{N_i \mid i \in I\} }[/math] мультиоператорной группы [math]\displaystyle{ \mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle }[/math] вновь является её идеалом, притом этот идеал [math]\displaystyle{ N = \bigcap N_i }[/math] совпадает с подгруппой группы [math]\displaystyle{ \langle G, +, -, 0 \rangle }[/math], порождённой этими идеалами.

Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.

Специальные классы мультиоператорных групп

Мультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа [math]\displaystyle{ \mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle }[/math], аддитивная группа которой абелева и каждая [math]\displaystyle{ n }[/math]-арная операция [math]\displaystyle{ \sigma \in \Sigma }[/math] дистрибутивна относительно группового сложения:

[math]\displaystyle{ \sigma(g_1, \dots, g_i + h_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, h_i, \dots, g_n) }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ g_i, h_i \in G }[/math].

Мультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] которой образуют поле [math]\displaystyle{ \Sigma_1 }[/math], притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех [math]\displaystyle{ \lambda \in \Sigma_1 }[/math], всех [math]\displaystyle{ n }[/math]-арных операций арности больше единицы [math]\displaystyle{ \sigma \in \Sigma \setminus \Sigma_1 }[/math] и произвольных элементов [math]\displaystyle{ g_i \in G }[/math] выполнено:

[math]\displaystyle{ \lambda \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, \lambda g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, \lambda g_n) }[/math].

Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]-алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).

Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы [math]\displaystyle{ N \triangleleft G }[/math], в которых наличие элемента [math]\displaystyle{ g_i \in N }[/math] влечёт содержание в них также всех элементов вида [math]\displaystyle{ \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) \in N }[/math].

Литература

• А. Г. Курош. Группы с мультиоператорами // Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1973. — С. 114—124. — 400 с. — 30 000 экз.
• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. М. Виноградов. Мультиоператорная группа // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.