Мост Вина

Рисунок 1. Электрическая схема моста Вина — Робинсона

Мост Ви́на (иногда в литературе — мост Вина — Робинсо́на) — пассивный четырёхполюсник, коэффициент передачи которого зависит от частоты. Одна пара плеч моста — последовательно и параллельно соединённые RC-цепи, составляющие совместно квазирезонансную частотно-избирательную цепь, другая пара плеч представляет резистивный делитель напряжения. Модуль передаточной функции сигнала диагонали моста имеет минимум при некотором соотношении величин двухполюсников входящих в схему и является характеристикой заграждающего фильтра.

Предложен Максом Вином в 1891 году.

Применяется в некоторых RC-генераторах для построения автогенераторов синусоидального сигнала с малыми искажениями и удовлетворительной стабильностью частоты и достаточно широким диапазоном перестройки по частоте. Иногда применяется в качестве полосно-заграждающего фильтра.

Мост может быть использован для измерения ёмкости конденсаторов, измерения паразитных параметров конденсаторов, например эквивалентного паразитного последовательного сопротивления (ЭПС), в измерителях нелинейных искажений и др.

Теория

Рисунок 2. Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения моста Вина при [math]\displaystyle{ R_1 = R_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ C_1 = C_2 }[/math]. Максимум модуля равен 1/3 на частоте [math]\displaystyle{ \omega_0 = 1/{RC} }[/math].

Рисунок 3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика напряжения [math]\displaystyle{ U_O = U_{O2} - U_{O1} }[/math] диагонали моста Вина при [math]\displaystyle{ R_1 = R_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ C_1 = C_2 }[/math].

В общем случае мост состоит из четырёх различных по величине сопротивления и ёмкости резисторов и двух конденсаторов. Частотно-зависимой цепью моста является делитель напряжения, состоящий из конденсаторов [math]\displaystyle{ C_1,\ C_2 }[/math] и резисторов [math]\displaystyle{ R_1,\ R_2 }[/math]. Передаточная функция [math]\displaystyle{ H_{dRC}(j\omega) }[/math] частотно-зависимого делителя напряжения выражается как:

[math]\displaystyle{ H_{dRC}(j\omega) = {{{R_1}||{Z_{C_1}}} \over {{R_1}||{Z_{C_1}} + {Z_{C_2}} + {R_2}}} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = {{{R_1}||{(1/j\omega C_1)}} \over {{R_1}||{(1/j\omega C_1)} + {(1/j\omega C_2)} + {R_2}}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Z_{C_1},\ Z_{C_1} }[/math] — реактивные сопротивления конденсаторов [math]\displaystyle{ C_1,\ C_1; }[/math]

[math]\displaystyle{ j }[/math] — мнимая единица.

Символом [math]\displaystyle{ || }[/math] обозначено параллельное соединение элементов, например:

[math]\displaystyle{ {{{R_1}||{Z_{C_1}}} = {{{R_1 \cdot Z_{C_1}}} \over {R_1 + Z_{C_1}}}}. }[/math]

Передаточная функция напряжения, снимаемого с диагонали моста [math]\displaystyle{ U_O = U_{O2} - U_{O1} }[/math] равно разности передаточных функций резистивного делителя [math]\displaystyle{ R_3,\ R_4 }[/math] и частотно-зависимого делителя напряжения:

[math]\displaystyle{ H_{U_O}(j\omega) = \frac {R_3}{R_3 + R_4} - {{{R_1}||{(1/j\omega C_1)}} \over {{R_1}||{(1/j\omega C_1)} + {(1/j\omega C_2)} + {R_2}}}. }[/math]

Явное выражение для этой функции через сопротивления резисторов и ёмкости конденсаторов громоздко. Можно показать, что частота колебаний [math]\displaystyle{ \omega_{0 U_O} }[/math], при которой будет наблюдаться минимум модуля комплексной амплитуды напряжения [math]\displaystyle{ U_O }[/math] диагонали моста будет:

[math]\displaystyle{ \omega_{0 U_O} = {1 \over \sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}. }[/math]

Если при этом дополнительно выполняются соотношение между ёмкостями конденсаторов и сопротивлениями резисторов в виде:

[math]\displaystyle{ {C_1 \over C_2} = {R_4 \over R_3} - {R_2 \over R_1}, }[/math]

то модуль комплексной амплитуды напряжения диагонали моста обращается в нуль.

Обычно в фильтрах, генераторах синусоидальных колебаний применяют мост Вина в котором [math]\displaystyle{ R_1 = R_2 = R }[/math] и [math]\displaystyle{ C_1 = C_2 = C. }[/math] При таком выборе математические выражения существенно упрощаются.

Передаточная функция частотно-зависимого делителя напряжения:

[math]\displaystyle{ H_{RC}(j\omega) = {{j\omega T} \over { - {\omega ^2}{T^2} + 3j\omega T + 1}} = {{j\Omega } \over { - {\Omega ^2} + 3j\Omega + 1}}. }[/math]

Модуль передаточной функции частотно-зависимого делителя напряжения (см. рисунок 2):

[math]\displaystyle{ |H_{RC}(j\omega)| = \omega T\sqrt {{1 \over {{\omega ^4}{T^4} + 7{\omega ^2}{T^2} + 1}}}= \Omega \sqrt {{1 \over {{\Omega^4} + 7{\Omega^2} + 1}}}. }[/math]

Здесь обозначено [math]\displaystyle{ \Omega = \omega RC = \omega T = \omega /{\omega _0},\ }[/math] [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — нормированная безразмерная частота, [math]\displaystyle{ T = RC }[/math] — постоянная времени RC-цепи, [math]\displaystyle{ \omega _0 = 1/RC }[/math] — частота максимума модуля передаточной функции.

При входной частоте [math]\displaystyle{ \omega = \omega _0,\ }[/math] то есть, при [math]\displaystyle{ \Omega = 1\ }[/math]модуль коэффициента передачи частотно-зависимого делителя имеет максимум и равен 1/3 и фазовый сдвиг относительно входного напряжения становится равным нулю.

Если выбрать коэффициент передачи [math]\displaystyle{ K_R = R_3/(R_3 + R_4) }[/math] резистивного делителя [math]\displaystyle{ R_3,\ R_4 }[/math] равным 1/3, то есть [math]\displaystyle{ R_4 = 2R_3, }[/math] то при [math]\displaystyle{ \omega = \omega _0 }[/math] напряжение диагонали моста станет нулевым.

Передаточная функция напряжения диагонали моста с таким соотношением номиналов компонентов:

[math]\displaystyle{ H(j\omega ) = {1 \over 3} \cdot {{1 - {\Omega ^2}} \over { - {\Omega ^2} + 3j\Omega + 1}}, }[/math]

и модуль этой передаточной функции:

[math]\displaystyle{ |H(j\omega )| = {1 \over 3} \cdot {{|1 - {\Omega ^2}|} \over {\sqrt {{{(1 - {\Omega ^2})}^2} + 9{\Omega ^2}} }}. }[/math]

Фазовый сдвиг [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] между входным и выходным напряжениями:

[math]\displaystyle{ \varphi = \operatorname{arctg}\left( {{{ - 3\Omega } \over {1 - {\Omega ^2}}}} \right),\ \Omega \ne 1. }[/math]

Графики модуля и фазового сдвига напряжения диагонали моста в полулогарифмических координатах приведены на рисунке 3.

Применение

Рисунок 4. Вариант применения моста Вина для измерения ёмкости и параллельного паразитного сопротивления исследуемого конденсатора.

Мост Вина может использоваться для измерений параметров конденсаторов. При этом в одно из плечей моста включают исследуемый конденсатор, варьируя входящие в мост сопротивления переменных резисторов и ёмкости переменных конденсаторов, а также частоту синусоидального напряжения питания моста, добиваются его балансировки, то есть равенства нулю напряжения диагонали моста.

Неизвестные параметры исследуемого конденсатора можно при этом получить из решения системы уравнений при известных [math]\displaystyle{ \omega_{bal} }[/math] — частоты, при которой мост сбалансирован, и величин [math]\displaystyle{ R_2,\ C_2,\ R_3,\ R_4 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \omega_{bal} = {1 \over \sqrt{R_x R_2 C_x C_2}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ {C_x \over C_2} = {R_4 \over R_3} - {R_2 \over R_x}. }[/math]

Решение этой системы уравнений:

[math]\displaystyle{ C_x = {{C_2R_4} \over {R_3(R_2^2C_2^2\omega_{bal}^2+1)}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ R_x = {{R_3}{(R_2^2C_2^2\omega_{bal}^2+1)} \over {R_2C_2^2R_4\omega_{bal}^2}}. }[/math]

Соответственно, аналогично можно определить эквивалентное последовательное сопротивление конденсатора, слегка видоизменив схему включения — выполнить регулируемыми [math]\displaystyle{ R_x,\ C_x }[/math] и вместо [math]\displaystyle{ C_2,\ R_2 }[/math] включить исследуемый конденсатор.

Традиционно мост Вина применяется в генераторах синусоидального сигнала с очень малым коэффициентом гармоник выходного сигнала, где он включен во положительную обратную связь усилителя с автоматически точно поддерживаемым коэффициентом передачи равным 1/3.

Также мост Вина применяется в измерителях нелинейных искажений в качестве фильтра-подавителя первой основной гармоники исследуемого сигнала.

См. также

• Автогенератор на основе моста Вина
• Фильтр (электроника)
• Полосовой фильтр

Литература

• Новиков Ю. Н. Основные понятия и законы теории цепей, методы анализа процессов в цепях. Учебное пособие для вузов. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2011.
• Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники: В 3-х томах = The Art of Electronics: Second Edition (© Cambridge University Press, 1980, 1989) / Пер. с англ.: Б. Н. Бронина, И. И. Короткевич, А. И. Коротова, М. Н. Микшиса, Л. В. Поспелова, О. А. Соболевой, К. Г. Финогенова, Ю. В. Чечёткина, М. П. Шарапова. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — М.: Мир, 1993. — 50 000 экз. — ISBN 5-03-002336-4, 5-03-002337-2, 5-03-002338-0, 5-03-002954-0.

• Довгун В. П. Электротехника и электроника. Учебное. пособие в 2 ч. / В. П. Довгун / Министерство образования и науки РФ. — Изд. 4-е, переработанное и дополненное. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. — 252 с.