Теорема Громова о группах полиномиального роста
Теорема Громова о группах полиномиального роста утверждает, что все конечнопорождённые группы полиномиального роста почти нильпотентны, то есть, обладают нильпотентной подгруппой конечного индекса.
Теорема доказана Громовым в 1981[1]. В той же статье вводится так называемая сходимость по Громову — Хаусдорфу. Доказательство существенно использует так называемую альтернативу Титса.
Вариации и обобщения
- Теорема остаётся верной если степень роста группы [math]\displaystyle{ O(n^{(\log \log n)^c}) }[/math].[2]
- Если для группы [math]\displaystyle{ G }[/math] существует многочлен [math]\displaystyle{ P }[/math] такой, что для любого [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] существует система образующих [math]\displaystyle{ S=S^{-1} }[/math] такая, что
- [math]\displaystyle{ |S^n|\leqslant P(n)\cdot|S|, }[/math]
- тогда [math]\displaystyle{ G }[/math] почти нильпотентна и в чаcтности имеет полиномиальный рост.[3]
Литература
- ↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 Архивировано 29 ноября 2016 года.
- ↑ Yehuda Shalom, Terence Tao, A finitary version of Gromov's polynomial growth theorem Архивная копия от 16 декабря 2018 на Wayback Machine
- ↑ Emmanuel Breuillard, Ben Green, Terence Tao, The structure of approximate groups. Архивная копия от 16 декабря 2018 на Wayback Machine
 | Для улучшения этой статьи желательно: |