Пространство Урысона
Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math].
Определение
Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math], обладающее следующими двумя свойствами:
- Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math].
- Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств [math]\displaystyle{ Y_1,Y_2\subset \mathbb{U} }[/math] любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math].
Замечание
- Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math], обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение [math]\displaystyle{ A\to \mathbb{U} }[/math] из подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math] конечного метрического пространства [math]\displaystyle{ F }[/math] можно продолжить до изометрического отображения [math]\displaystyle{ F\to \mathbb{U} }[/math].
Свойства
- Пространство Урысона [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math] существует и единственно с точностью до изометрии.
- Пространство Урысона [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math] является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества [math]\displaystyle{ K\subset \mathbb{U} }[/math] в [math]\displaystyle{ U }[/math] можно продолжить до изометрии [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math].
- Пространство Урысона [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math] гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.[1]
- При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.
- Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи.
История
Морис Фреше доказал, что пространство [math]\displaystyle{ \ell^\infty }[/math] универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, [math]\displaystyle{ \ell^\infty }[/math] не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.[2]
На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.[3] В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.
Примечания
- ↑ V. Uspenskij. “The Urysohn universal metric space is homeomorphic to a Hilbert space”. Topology Appl. 139.1-3 (2004), 145–149.
- ↑
- «Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)
- «Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
- Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.
- ↑ M. Katětov. “On universal metric spaces”. General topology and its relations to modern analysis and algebra, VI (Prague, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1988, 323–330.
Ссылки
- С. А. Богатый, Компактная однородность универсального метрического пространства Урысона, УМН, 55:2(332) (2000), 131—132.
- А. М. Вершик, Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона, Докл. РАН, 387:6 (2002), 733—736
- А. М. Вершик, Универсальность и случайность в геометрии и анализе, видеозапись лекции 28 сентября 2006 г. на общеинститутском семинаре «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
- А. М. Вершик, Случайные метрические пространства и универсальность, УМН, 59:2(356) (2004), 65-104.
- J. Melleray, Some geometric and dynamical properties of the Urysohn space. Topology Appl. 155 (2008), no. 14, 1531–1560.