Метод обратной задачи рассеяния
Ме́тод обра́тной зада́чи рассе́яния — аналитический метод решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Основан на связи нелинейного уравнения с данными рассеяния семейства вспомогательных линейных дифференциальных операторов, дающей возможность по эволюции данных рассеяния восстановить эволюцию решения нелинейного уравнения.
Метод представляет собой аналог метода Фурье решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Роль преобразования Фурье при этом играет отображение коэффициентных функций линейного дифференциального оператора в совокупность данных рассеяния[1]. При применении метода необходимо решать обратную задачу рассеяния, которая состоит в восстановлении линейного дифференциального оператора по его данным рассеяния.
В основе метода лежит представление исследуемого нелинейного уравнения в виде условия совместности системы линейных уравнений, называемое представлением Лакса[2].
Для интегрируемых методом обратной задачи уравнений характерно существование специальных точных решений — солитонов («уединённых волн»).
История
Метод обратной задачи рассеяния берет начало в 1967 году в работе К. С. Гарднера, Дж. М. Грина, М. Д. Крускала и Р. М. Миуры, применивших его к уравнению Кортевега — де Фриза (КдФ)[3]. Это уравнение было выведено в конце XIX века для описания волн на мелкой воде. Тогда же были получены некоторые его точные решения — солитоны. Интерес к солитонам возобновился в связи с исследованиями по физике плазмы в 60-х годах XX века. В 1965 году М. Д. Крускал и Н. Забужский обнаружили путём численного моделирования, что солитоны уравнения Кортевега — де Фриза сталкиваются упруго (эффект, совершенно не характерный для линейных волн)[4]. Этот результат дал толчок к новым аналитическим исследованиям, которые в результате привели к возникновению метода обратной задачи.
Дальнейшее развитие метод получил в работе П. Лакса, который вскрыл лежащий в основе алгебраический механизм[5]. Позднее К. С. Гарднер, В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев построили теорию уравнения Кортевега — де Фриза как гамильтоновой системы.
В 1971 году В. Е. Захаров и А. Б. Шабат применили метод обратной задачи к другому важному для физики уравнению — нелинейному уравнению Шрёдингера[6]. Вскоре М. Вадати, используя идеи прямой и обратной задачи рассеяния, предложил решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ), а М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур проделали то же самое для уравнения синус-Гордона[7]. Затем М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур предложили схему, позволяющую по заданной задаче рассеяния построить иерархию нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом обратной задачи[8].
В дальнейшем при помощи метода обратной задачи рассеяния было построено решение для разностного аналога уравнения Кортевега — де Фриза — цепочки Тоды, изучены периодические и почти периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза (до этого речь шла о решениях, быстро убывающих на бесконечности), получены решения других нелинейных уравнений[9][10].
Описание метода на примере уравнения Кортевега — де Фриза
Связь с оператором Штурма — Лиувилля
Уравнение Кортевега — де Фриза
- [math]\displaystyle{ u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0 }[/math]
является условием совместности переопределённой системы линейных уравнений:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} (L - k^2) \psi = 0, \\ \psi_t + A \psi = 0, \end{cases} }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ L = -\frac{d^2}{dx^2} + u(x, t) }[/math]
— оператор Штурма — Лиувилля,
- [math]\displaystyle{ A = 4\frac{d^3}{dx^3} - 3 \left( u \frac{d}{dx} + \frac{d}{dx} u \right), }[/math]
и эквивалентно следующему операторному соотношению, называемому представлением Лакса:
Прямая задача рассеяния
Спектр оператора Штурма — Лиувилля (оператора Шрёдингера)
- [math]\displaystyle{ L = -\frac{d^2}{d x^2} + u(x), \quad -\infty \lt x \lt \infty }[/math]
с потенциалом [math]\displaystyle{ u(x) }[/math], достаточно быстро убывающим при [math]\displaystyle{ x \to \pm \infty }[/math], состоит из двух компонент: непрерывной, включающей положительную полуось [math]\displaystyle{ k^2 \gt 0 }[/math], и конечного числа отрицательных дискретных собственных значений [math]\displaystyle{ -p_n^2, \, n = 1, 2, \dots, N }[/math]. Для характеристики непрерывной части спектра вводится решение уравнения [math]\displaystyle{ L \psi = k^2 \psi }[/math], определяемое асимптотическими граничными условиями
- [math]\displaystyle{ \psi(x, k) \sim T(k) e^{-ikx}, \quad x \to -\infty, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \psi(x, k) \sim e^{-i k x} + R(k) e^{i k x}, \quad x \to +\infty. }[/math]
Данные условия однозначно определяют решение [math]\displaystyle{ \psi(x, k) }[/math], а также коэффициенты прохождения [math]\displaystyle{ T(k) }[/math] и отражения [math]\displaystyle{ R(k) }[/math]. Собственным значениям [math]\displaystyle{ -p_n^2 }[/math] отвечают собственные функции [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] и нормировочные константы
- [math]\displaystyle{ \rho_n = \left[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_n^2(x)\, dx \right]^{-1}. }[/math]
Данными рассеяния оператора [math]\displaystyle{ L }[/math] называется набор величин:
- [math]\displaystyle{ J = \left\{ R(k), \, -\infty \lt k \lt +\infty; \, p_n, \rho_n, \, n = 1, 2, \dots, N \right\}. }[/math]
Прямая задача рассеяния заключается в определении данных рассеяния по заданному потенциалу [math]\displaystyle{ u }[/math][12].
Обратная задача рассеяния
Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении оператора [math]\displaystyle{ L }[/math] (а именно, его потенциала [math]\displaystyle{ u }[/math]) по данным рассеяния. Один из основных методов решения обратной задачи рассеяния основан на уравнении Гельфанда — Левитана — Марченко:
- [math]\displaystyle{ K(x, y) + M(x + y) + \int\limits_x^{\infty} K(x, z) M(z + y) \, dz = 0, \quad y \gt x. }[/math]
Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции [math]\displaystyle{ K(x, y) }[/math] (при каждом фиксированном [math]\displaystyle{ x }[/math]). Оно связывает функцию [math]\displaystyle{ M(x) }[/math], которая строится по данным рассеяния:
- [math]\displaystyle{ M(x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} R(k) e^{i k x} \, dk + \sum_{n = 1}^N \rho_n e^{-p_n x} }[/math]
с функцией [math]\displaystyle{ K(x, y) }[/math], по которой можно найти потенциал:
- [math]\displaystyle{ u(x) = -2\frac{d}{dx} K(x, x). }[/math][13]
Эволюция данных рассеяния
Если функция [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] меняется во времени как решение уравнения Кортевега — де Фриза, то эволюция данных рассеяния во времени имеет вид
- [math]\displaystyle{ R(k, t) = R(k, 0) e^{8 i k^3 t}, \quad p_n(t) = p_n(0), \quad \rho_n(t) = \rho_n(0) e^{8 p_n^3 t}. }[/math]
Верно и обратное[14].
Схема метода
Решение задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза методом обратной задачи рассеяния разбивается на три этапа:
- Решить прямую задачу рассеяния: по заданному начальному условию [math]\displaystyle{ u(x, 0) }[/math] найти данные рассеяния [math]\displaystyle{ J(0) }[/math].
- По [math]\displaystyle{ J(0) }[/math] найти [math]\displaystyle{ J(t) }[/math], используя формулы для эволюции данных рассеяния.
- Решить обратную задачу рассеяния: по данным рассеяния [math]\displaystyle{ J(t) }[/math] восстановить функцию [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] — искомое решение задачи Коши.
Стоит отметить, что все этапы схемы связаны с изучением линейных задач[14].
Солитоны
Прямая и обратная задачи рассеяния решаются точно для безотражательных потенциалов, для которых коэффициент отражения [math]\displaystyle{ R(k) }[/math] тождественно равен нулю. В этом случае решение обратной задачи имеет вид
- [math]\displaystyle{ u(x) = -2\frac{d^2}{dx^2}\ln \det A(x), }[/math]
где [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] — [math]\displaystyle{ N \times N }[/math] матрица с элементами
- [math]\displaystyle{ A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\rho_n}{p_n + p_m} e^{-(p_n+p_m)x} }[/math]
(здесь [math]\displaystyle{ \delta_{nm} }[/math] — символ Кронекера). Свойство безотражательности сохраняется по времени. Временная динамика безотражательных потенциалов получается заменой
- [math]\displaystyle{ \rho_n \, \to \, \rho_n e^{8 p_n^3 t} }[/math]
в определении матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Простейший безотражательный потенциал с одним дискретным уровнем [math]\displaystyle{ p_1 = \varkappa }[/math] называется солитоном и имеет вид
- [math]\displaystyle{ u(x, t) = -\frac{2 \varkappa^2}{\operatorname{ch}^2 \varkappa(x - 4 \varkappa^2 t - \varphi)}, }[/math]
где введено обозначение
- [math]\displaystyle{ \varphi = \frac{1}{2\varkappa} \ln \frac{\rho_1}{2 \varkappa}. }[/math][15]
Интегрируемые уравнения
- Уравнение Кортевега — де Фриза
- Нелинейное уравнение Шрёдингера
- Уравнение синус-Гордона
- Цепочка Тоды
- Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза
- Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
- Уравнение Ишимори
См. также
Примечания
- ↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 20.
- ↑ 2,0 2,1 Захаров В. Е. Обратной задачи рассеяния метод, 1992.
- ↑ Gardner C. S.; Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation (англ.) // Physical review letters. — 1967. — Vol. 19. — P. 1095–1097.
- ↑ Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 1965. — Vol. 15. — P. 240-243.
- ↑ Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves (англ.) // Comm. Pure Appl. Math.. — 1968. — Vol. 21. — P. 467-490.
- ↑ Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 61. — С. 118-134.
- ↑ Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving the sin-Gordon equation (англ.) // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Vol. 30. — P. 1262-1264.
- ↑ Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems (англ.) // Stud. Appl. Math.. — 1974. — Vol. 53. — P. 249-315.
- ↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Предисловие.
- ↑ Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи, 1987, п. 1.1.
- ↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 34.
- ↑ Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 26-28.
- ↑ Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 28.
- ↑ 14,0 14,1 Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 36.
- ↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Глава I, §3.
Литература
- Абловиц М., Сигур Х. . Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1987. — 479 с.
- Бутерин С. А., Игнатьев М. Ю., Кабанов С. Н., Курышова Ю. В., Лукомский Д. С., Поликарпов С. И. . Метод обратной задачи в теории нелинейных волн. — Саратов: Саратовский гос. ун-т, 2013. — 115 с.
- Захаров В. Е. Обратной задачи рассеяния метод // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — С. 365−366. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
- Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. . Теория солитонов: метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
- Калоджеро Ф., Дегасперис А. . Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1985. — 472 с.
- Лэм Дж. мл. . Введение в теорию солитонов: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
- Марченко В. А. . Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.