Перейти к содержанию

Уравнение Кадомцева — Петвиашвили

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Пересекающиеся волны, состоящие из почти кноидальных волновых шлейфов. Фотография сделана с маяка Бален[фр.] в западной точке острова Ре, Франция, в Атлантическом океане. Взаимодействие таких около-солитонов на мелководье может быть смоделировано с помощью уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В математике и физике, уравнение Кадомцева-Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \partial_x(\partial_t u+u \partial_x u+\epsilon^2\partial_{xxx}u)+\lambda\partial_{yy}u=0 }[/math]

где [math]\displaystyle{ \lambda=\pm 1 }[/math]. Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.

Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо[1][2][3][4][5]. Оно также может быть решено с помощью обратного преобразования рассеяния[англ.], как и нелинейное уравнение Шрёдингера[6].

История

Борис Борисович Кадомцев

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.

Связь с физикой

Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется [math]\displaystyle{ \lambda=+1 }[/math]; если же поверхностное натяжение сильное, то [math]\displaystyle{ \lambda=-1 }[/math]. Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).

Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах[7], а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.

Ограниченность

Для [math]\displaystyle{ \epsilon\ll 1 }[/math], типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны [math]\displaystyle{ O(1/\epsilon) }[/math], что даёт сингулярный предельный режим в виде [math]\displaystyle{ \epsilon\rightarrow 0 }[/math]. Предел [math]\displaystyle{ \epsilon\rightarrow 0 }[/math] называется бездисперсионным[англ.] пределом.[8][9][10]

Если мы также предположим, что решения не зависят от y при [math]\displaystyle{ \epsilon\rightarrow 0 }[/math], то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \partial_t u+u\partial_x u=0. }[/math]

Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — [math]\displaystyle{ O(\epsilon) }[/math] — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дейви-Стюартсона[англ.].

См. также

Примечания

  1. ↑ Абдул-Маджид Вазваз. Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota’s bilinear method and by the tanh–coth method (англ.) // Applied Mathematics and Computation. — 2007-07. — Vol. 190, iss. 1. — P. 633–640. — doi:10.1016/j.amc.2007.01.056.
  2. ↑ И Ченг, И-шен Ли. The constraint of the Kadomtsev-Petviashvili equation and its special solutions (англ.) // Physics Letters A. — 1991-07. — Vol. 157, iss. 1. — P. 22–26. — doi:10.1016/0375-9601(91)90403-U.
  3. ↑ Вэнь-Сюй Ма. Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.) // Physics Letters A. — 2015-09. — Vol. 379, iss. 36. — P. 1975–1978. — doi:10.1016/j.physleta.2015.06.061.
  4. ↑ Юдзи Кодама. Young diagrams and N -soliton solutions of the KP equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004-11-19. — Т. 37, вып. 46. — С. 11169–11190. — ISSN 1361-6447 0305-4470, 1361-6447. — doi:10.1088/0305-4470/37/46/006.
  5. ↑ Шу-фанг Дэн, Дэн-юань Чэнь, Да-цзюнь Чжан. The Multisoliton Solutions of the KP Equation with Self-consistent Sources (англ.) // Journal of the Physical Society of Japan. — 2003-09-15. — Vol. 72, iss. 9. — P. 2184–2192. — ISSN 1347-4073 0031-9015, 1347-4073. — doi:10.1143/JPSJ.72.2184.
  6. ↑ Марк Дж. Абловиц, Харви Сегур. Solitons and the Inverse Scattering Transform (англ.). — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1981-01. — ISBN 978-0-89871-174-5, 978-1-61197-088-3.
  7. ↑ Херв Леблонд. KP lumps in ferromagnets: a three-dimensional KdV Burgers model (англ.) // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002-11-29. — Vol. 35, iss. 47. — P. 10149–10161. — ISSN 0305-4470. — doi:10.1088/0305-4470/35/47/313.
  8. ↑ Захаров, В. Е. Бесдисперсионный предел интегрируемых систем в 2+1 измерениях // Сингулярные пределы дисперсионных волн. — Бостон : Springer, 1994. — P. 165–174. — ISBN 0-306-44628-6.
  9. ↑ Страчан, И. А. (1995). «The Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy» (en). Journal of Physics A: Mathematical and General 28 (7). arXiv:hep-th/9410048. doi:10.1088/0305-4470/28/7/018.
  10. ↑ (29.06.1994) «Integrable hierarchies and dispersionless limit». Reviews in Mathematical Physics 7 (5): 743–808. arXiv:hep-th/9405096. doi:10.1142/S0129055X9500030X.

Литература

  • (09.02.1970) «Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах». Докл. АН СССР 15: 539–541. Bibcode: 1970SPhD...15..539K.. Translation of (09.02.1970) «Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах». Докл. АН СССР 192: 753–756.
  • Кодама, Ю. KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns : [англ.]. — Springer, 2017. — ISBN 978-981-10-4093-1.
  • (21.03.1997) «Infinitely many Lax pairs and symmetry constraints of the KP equation» (en). Journal of Mathematical Physics 38 (12): 6401–6427. doi:10.1063/1.532219.
  • (Ноябрь1996) «Evolution of lump solutions for the KP equation» (en). Wave Motion 24 (3): 291–305. doi:10.1016/S0165-2125(96)00023-6.
  • Накамура, А. (12.09.1988). «A bilinear N-soliton formula for the KP equation» (en). Journal of the Physical Society of Japan 58 (2): 412–422. doi:10.1143/JPSJ.58.412.
  • Превиато, Эмма (2001), KP-equation, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • (30.06.2004) «Generalized Darboux transformations for the KP equation with self-consistent sources» (en). Journal of Physics A: Mathematical and General 37 (28): 7143. arXiv:nlin/0412070. doi:10.1088/0305-4470/37/28/006.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Уравнение_Кадомцева_—_Петвиашвили&oldid=5877676