Цепочка Тоды

Цепо́чка То́ды (англ. Toda's chain) — система дискретных нелинейных уравнений, описывающих динамику взаимосвязанных нелинейных осцилляторов. Имеет важное значение в теории колебаний кристаллических решёток.

Система в общем случае имеет вид:

[math]\displaystyle{ m\ddot{r}_n = 2f(r_n) - f(r_{n+1}) - f(r_{n-1}) }[/math]

где [math]\displaystyle{ r_n(t) }[/math] имеет смысл величины отклонения n-го осциллятора от положения равновесия, а [math]\displaystyle{ f(r_i) }[/math] — нелинейная функция, имеющая смысл возвращающей силы, действующей на i-ый осциллятор. Точки означают взятие операции дифференцирования.

Впервые предложена и проанализирована для случая [math]\displaystyle{ f(t) = - \alpha (1 - \exp(-\beta t)) }[/math] Морикадзу Тодой в 1967 году.

Эквивалентная форма

Уравнение цепочки Тоды удобно анализировать в эквивалентной форме следующего вида

[math]\displaystyle{ \dot{s}_n = f(r_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ m\dot{r}_n = 2s_n - s_{n+1} - s_{n-1} }[/math]

Решения

Можно показать, что уравнения, описывающие динамику цепочки Тоды, имеют решения в виде стационарных бегущих волн, имеющих вид

[math]\displaystyle{ s_n = S(\theta) = S(\omega t - pn) }[/math]

где функция [math]\displaystyle{ S(\theta) }[/math] в случае, если [math]\displaystyle{ f(r_i) = - \alpha (1 - \exp(-\beta t)) }[/math], удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ \frac{m\omega^2}{\beta}\frac{S''}{\alpha + \omega S'} = S(\theta+p) + S(\theta-p) - S(\theta) }[/math]

Решение этого уравнения выражается через эллиптические функции Якоби:

[math]\displaystyle{ S(\theta) = bZ(2K\theta) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ Z(\theta) = E(\theta) - \theta\frac{E(K)}{K} }[/math] — дзета-функция Якоби, имеющая период 2K

[math]\displaystyle{ E(\zeta) = \int\limits_0^\zeta \mathrm{dn}^2z dz }[/math]

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода. Связь коэффициентов b и [math]\displaystyle{ \omega }[/math] с параметрами [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], [math]\displaystyle{ \beta }[/math] и m достаточно сложна, однако упрощается в предельных случаях.

Функция [math]\displaystyle{ r_n }[/math] находится из соотношения

[math]\displaystyle{ - \alpha \left(1 - e^{-\beta r_n}\right) = \dot{s}_n = 2K\omega b\left(\mathrm{dn}^2 2K\theta - \frac{E}{K}\right) }[/math]

Особым решением является уединённое локализованное решение солитонного типа. Оно может быть получено в пределе [math]\displaystyle{ K\to\infty }[/math], при одновременном выполнении условий:

[math]\displaystyle{ 2K\omega\to\Omega }[/math]

[math]\displaystyle{ 2Kp\to P }[/math]

В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические, и решение принимает вид

[math]\displaystyle{ - \alpha \left(1 - \beta e^{-r_n}\right) = \frac{m\Omega^2}{\beta\cosh^2\left[\Omega t - Pn\right]} }[/math]

М. Тода в своих работах показал, что эти солитоны после взаимодействия друг с другом не изменяют первоначальную форму. Любое начальное распределение в процессе эволюции разделяется на множество солитонов. Точное решение этой задачи было получено методом обратной задачи рассеяния.

Литература

• Morikazu Toda. Studies of a non-linear lattice (англ.) // Physics Reports. — 1975. — Vol. 18, iss. 1. — P. 1—123.
• Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 584—588. — 622 с.