Перейти к содержанию

CKM-матрица

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Ароматы в физике элементарных частиц
Ароматы
Чётность
Квантовые числа
Заряды
Комбинации
См. также

CKM-ма́трица, ма́трица Каби́ббо — Кобая́си — Маска́вы (ККМ-матрица, матрица смешивания кварков, иногда раньше называлась KM-матрица) в Стандартной модели физики элементарных частиц — унитарная матрица, которая содержит информацию о силе слабых взаимодействий, изменяющих аромат. Технически, она определяет преобразование между двумя базисами квантовых состояний: состояниями свободно движущихся кварков (то есть их массовыми состояниями) и состояниями кварков, участвующих в слабых взаимодействиях. Она важна также для понимания нарушения CP-симметрии. Точное математическое определение этой матрицы дано в статье по основам Стандартной модели. Эта матрица была предложена для трёх поколений кварков японскими физиками Макото Кобаяси и Тосихидэ Маскава, которые добавили одно поколение к матрице, ранее предложенной Николой Кабиббо.

Матрица

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \\ \left| b \right \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left| d' \right \rangle \\ \left| s' \right \rangle \\ \left| b' \right \rangle \end{bmatrix}. }[/math]

Слева мы видим CKM-матрицу вместе с вектором сильных собственных состояний кварков, а справа имеем слабые собственные состояния кварков. ККМ-матрица описывает вероятность перехода от одного кварка q к другому кварку q' . Эта вероятность пропорциональна [math]\displaystyle{ \left| V_{qq'} \right| ^2. }[/math]

Величины значений в матрице были установлены экспериментально и равны приблизительно[1]:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} |V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\ |V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\ |V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}97427 \pm 0{,}00015 & 0{,}22534 \pm 0{,}00065 & 0{,}00351^{+0{,}00015}_{-0{,}00014} \\ 0{,}22520 \pm 0{,}00065 & 0{,}97344 \pm 0{,}00016 & 0{,}0412^{+0{,}0011}_{-0{,}0005} \\ 0{,}00867^{+0{,}00029}_{-0{,}00031} & 0{,}0404^{+0{,}0011}_{-0{,}0005} & 0{,}999146^{+0{,}000021}_{-0{,}000046} \end{bmatrix}. }[/math]

Таким образом, CKM-матрица довольно близка к единичной матрице.

Подсчёт

Чтобы идти дальше, необходимо подсчитать количество параметров в этой матрице V, которые проявляются в экспериментах и, следовательно, физически важны. Если есть N поколений кварков (2N ароматов), то

  1. комплексная матрица N×N содержит 2N² действительных чисел.
  2. Ограничивающее условие унитарности k VikV*jk = δij. Следовательно, для диагональных компонент (i = j) существует N ограничений, а для остающихся компонент — N(N − 1). Количество независимых действительных чисел в унитарной матрице равно N².
  3. Одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем. Общая фаза ненаблюдаема. Следовательно, количество независимых чисел уменьшается на 2N − 1, то есть общее количество свободных переменных равно (N² − 2N + 1) = (N − 1)².
  4. Из них N(N − 1)/2 — углы вращения, называемые кварковыми углами смешивания.
  5. Оставшиеся (N − 1)(N − 2)/2 являются комплексными фазами, вызывающими нарушение CP-инвариантности.

Если число поколений кварков N = 2 (исторически такой была первая версия CKM-матрицы, когда были известны только два поколения), есть только один параметр — угол смешивания между двумя поколениями кварков. Он называется угол Кабиббо в честь Николы Кабиббо.

В Стандартной модели N = 3, следовательно, есть три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию.

Наблюдения и предсказания

Идея Кабиббо появилась из-за необходимости объяснения двух наблюдаемых явлений:

  1. переходы u ↔ d и e ↔ νe, μ ↔ νμ имели похожие амплитуды.
  2. переходы с изменением странности ΔS = 1 имели амплитуды, равные 1/4 от амплитуд переходов без изменения странности (ΔS = 0).

Решение Кабиббо состояло в постулировании универсальности слабых переходов, чтобы решить проблему 1, и угла смешивания θc (теперь называемого углом Кабиббо) между d- и s-кварками, чтобы решить проблему 2.

Для двух поколений кварков нет нарушающей CP-симметрию фазы, как было показано выше. Поскольку нарушение CP-симметрии наблюдалось в распадах нейтральных каонов уже в 1964 году, появление немногим позже Стандартной модели было ясным сигналом о третьем поколении кварков, как было указано в 1973 году Кобаяси и Маскавой. Открытие b-кварка в Фермилабе (группой Леона Ледермана) в 1977 году немедленно привело к началу поисков ещё одного кварка третьего поколения — t-кварка.

Универсальность слабых переходов

Ограничение по унитарности CKM-матрицы для диагональных компонент может быть записано как

[math]\displaystyle{ \sum_j |V_{ij}|^2 = 1 }[/math]

для всех поколений i. Это предполагает, что сумма всех связей кварка u-типа со всеми кварками d-типа одинакова для всех поколений. Никола Кабиббо в 1967 году назвал это соотношение слабой универсальностью. Теоретически, это следствие того факта, что все дублеты SU(2) взаимодействуют с векторными бозонами слабых взаимодействий с одинаковой константой связи. Это подтверждено во многих экспериментах.

Треугольники унитарности

Оставшиеся ограничения по унитарности ККМ-матрицы могут быть записаны в форме

[math]\displaystyle{ \sum_k V_{ik}V^*_{jk} = 0. }[/math]

Для любых фиксированных и различных i и j это ограничение накладывается на три комплексных числа, одно для каждого k, что означает, что эти числа являются вершинами треугольника на комплексной плоскости. Существует шесть вариантов i и j, поэтому и шесть таких треугольников, каждый из которых называется треугольником унитарности. Их формы могут быть очень разными, но они все имеют одинаковую площадь, которую можно отнести к нарушающей CP-симметрию фазе. Площадь исчезает для специфических параметров в Стандартной модели, для которых нет нарушения CP-симметрии. Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Поскольку как три стороны, как и три угла каждого треугольника могут быть измерены в прямых экспериментах, проводится серия тестов для проверки замкнутости треугольников. Это задача для таких экспериментов, как японский BELLE, калифорнийский BaBar и эксперимент LHCb проекта LHC.

Параметризации

Для полного задания CKM-матрицы требуется четыре независимых параметра. Было предложено множество параметризаций, но наиболее популярны три.

KM-параметры

Изначально параметризация Кобаяси и Маскавы использовала три угла (θ1, θ2, θ3) и фазу CP-нарушения (δ).

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} c_1 & -s_1 c_3 & -s_1 s_3 \\ s_1 c_2 & c_1 c_2 c_3 - s_2 s_3 e^{i\delta} & c_1 c_2 s_3 + s_2 c_3 e^{i\delta}\\ s_1 s_2 & c_1 s_2 c_3 + c_2 s_3 e^{i\delta} & c_1 s_2 s_3 - c_2 c_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}, }[/math]

где θ1 — угол Кабиббо, ci и si — соответственно косинус и синус угла θi.

«Стандартные» параметры

«Стандартная» параметризация CKM-матрицы использует три угла Эйлера (θ12, θ23, θ13) и фазу CP-нарушения (δ)[2]. Смешивание между поколениями кварков i и j исчезает, если угол смешивания θij стремится к нулю. Здесь θ12 — угол Кабиббо, cij и sij — соответственно косинус и синус угла θij.

[math]\displaystyle{ \begin{align} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{23} & s_{23} \\ 0 & -s_{23} & c_{23} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{13} & 0 & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_{13}e^{i\delta_{13}} & 0 & c_{13} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{12} & s_{12} & 0 \\ -s_{12} & c_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}. \end{align} }[/math]

На текущий момент наиболее точные значения стандартных параметров[3][4]:

θ12 = 13,04 ± 0,05°,
θ13 = 0,201 ± 0,011°,
θ23 = 2,38 ± 0,06°,
δ13 = 1,20 ± 0,08 радиана.

Параметры Вольфенштейна

Третья параметризация CKM-матрицы, введёна Линкольном Вольфенштейном, использует параметры λ, A, ρ и η[5]. Параметры Вольфенштейна являются числами порядка единицы и связаны со «стандартной» параметризацией следующими соотношениями:

λ = s12,
Aλ2 = s23,
Aλ3(ρ − iη) = s13eiδ.

Параметризация Вольфенштейна CKM-матрицы является аппроксимацией «стандартной» параметризации. Если ограничиться членами разложения до порядка λ3, она может быть представлена следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\ -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\ A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{bmatrix}. }[/math]

CP-нарушение может быть определено измерением ρ − iη.

Используя значения из предыдущего подраздела, можно получить следующие значения параметров Вольфенштейна[4]:

λ = 0,2257+0,0009
−0,0010
,
A = 0,814+0,021
−0,022
,
ρ = 0,135+0,031
−0,016
,
η = 0,349+0,015
−0,017
.

См. также

Примечания

  1. Beringer J. (Particle Data Group) et al. Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix (англ.) // Physical Review D : journal. — 2012. — Vol. 80, no. 1. — P. 1—1526 [162]. — doi:10.1103/PhysRevD.86.010001. — Bibcode2012PhRvD..86a0001B. Архивировано 14 июля 2018 года.
  2. L.L. Chau and W.-Y. Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1984. — Vol. 53, no. 19. — P. 1802. — doi:10.1103/PhysRevLett.53.1802. — Bibcode1984PhRvL..53.1802C.
  3. Значения получены из значений параметров Вольфенштейна из издания Review of Particle Physics 2008 года.
  4. Перейти обратно: 4,0 4,1 Amsler C. (Particle Data Group) et al. Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix (англ.) // Physics Letters B[англ.] : journal. — 2008. — Vol. 667. — P. 1—1340. — doi:10.1016/j.physletb.2008.07.018. — Bibcode2008PhLB..667....1A. Архивировано 21 декабря 2018 года.
  5. L. Wolfenstein. Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1983. — Vol. 51, no. 21. — P. 1945. — doi:10.1103/PhysRevLett.51.1945. — Bibcode1983PhRvL..51.1945W.

Ссылки