Особенность

Особенность, или сингулярность в математике, — это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка, в которой функция имеет разрыв или недифференцируема).

Особенности в комплексном анализе

Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (и более общий случай: аналитических) функций — точки комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна, но не являться аналитичной.

Особенности в действительном анализе

Функция [math]\displaystyle{ f(x)=1/x }[/math] имеет особую точку в нуле, где она стремится к положительной бесконечности справа и к отрицательной бесконечности — слева.	·	Функция [math]\displaystyle{ g(x)=\|x\| }[/math] также имеет особенность в нуле, где она недифференцируема.



График, определённый выражением [math]\displaystyle{ y^2=x }[/math], имеет в нуле особенность — вертикальную касательную.		Кривая, заданная уравнением [math]\displaystyle{ y^2=x^3+x^2 }[/math], имеет в (0,0) особенность — точку самопересечения.

Особенности в алгебраической геометрии

Особенность алгебраического многообразия — это точка, в которой касательное пространство к многообразию не может быть корректно определено. Неособые точки называют также регулярными. Простейший пример особенности — кривая, пересекающая сама себя. Существуют и другие типы особенностей, например каспы: кривая, определённая уравнением [math]\displaystyle{ x^2=y^3 }[/math] имеет касп в начале координат. Можно было бы сказать, что ось x касается кривой в этой точке, однако для этого пришлось бы изменить определение касательной. Более корректно, эта кривая имеет «двойную касательную» в начале координат.

Для аффинных или проективных многообразий, особенности — это в точности те точки, в которых ранг матрицы Якоби (матрицы из частных производных многочленов, задающих многообразие) ниже, чем в других точках.

Используя термины коммутативной алгебры, можно дать другое определение, которое поддаётся обобщению на абстрактные многообразия и схемы: точка x является регулярной тогда и только тогда, когда локальное кольцо рациональных функций в этой точке является регулярным кольцом.