K3-поверхность

K3-поверхность есть связная односвязная компактная комплексная поверхность (то есть комплексное многообразие комплексной размерности два), допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Квартика в [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^3 }[/math]

Вещественные точки некоторой квартики

Одним из самых простых примеров K3-поверхностей даётся гладкими поверхностями четвёртой степени в комплексном проективном пространстве. Для того, чтобы доказать, что эти поверхности удовлетворяют определению K3-поверхности, однако, требуется некоторое знакомство с теорией линейных расслоений.

Именно, с точки зрения линейных расслоений, однородные функции степени [math]\displaystyle{ n }[/math] на проективном пространстве [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^m }[/math] суть сечения линейного расслоения [math]\displaystyle{ \mathfrak{O}(n) }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]-ной степени тавтологического расслоения [math]\displaystyle{ \mathfrak{O}(1) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ L \to X }[/math] — некоторое линейное расслоение, и [math]\displaystyle{ s \in \Gamma(L) }[/math] — его сечение, притом его нулевой уровень [math]\displaystyle{ Y = \{x \in X \colon s(x) = 0\} }[/math] есть гладкое подмногообразие, то его дифференциал [math]\displaystyle{ ds }[/math] определяет в каждой точке [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] отображение [math]\displaystyle{ T_yX \to L_y }[/math], ядро которого есть в точности [math]\displaystyle{ T_yY }[/math]. Тем самым, учитывая гладкость [math]\displaystyle{ Y }[/math], имеем изоморфизм расслоений [math]\displaystyle{ TX|_Y/TY \xrightarrow{ds} L|_Y }[/math]. Этот фактор [math]\displaystyle{ TX|_Y/TY = \nu_{Y/X} }[/math] называется нормальным расслоением; в частности, видим, что нормальное расслоение к гладкой квартике [math]\displaystyle{ Y = Y_4 \subset \Complex\mathrm{P}^3 }[/math] изоморфно [math]\displaystyle{ \mathfrak{O}(4)|_{Y} }[/math].

С другой стороны, нормальное расслоение вписывается в точную последовательность [math]\displaystyle{ 0 \to TY \to TX|_Y \to \nu_{Y/X} }[/math]. Дуализируя, получаем точную последовательность [math]\displaystyle{ 0 \to \nu^*_{Y/X} \to T^*X|_Y \to T^*Y \to 0 }[/math], и, вычисляя старшую внешнюю степень и пользуясь её функториальными свойствами, имеем изоморфизм линейных расслоений [math]\displaystyle{ K_X|_Y \cong K_Y \otimes \nu^*_{Y/X} }[/math], или, по двойственности, [math]\displaystyle{ K_Y \cong K_X|_Y \otimes \nu_{Y/X} }[/math] (эта формула называется формулой присоединения). Применяя формулу присоединения к случаю, когда [math]\displaystyle{ X = \Complex\mathrm{P}^m }[/math] (каноническое расслоение которого изоморфно [math]\displaystyle{ \mathfrak{O}(-m-1) }[/math] согласно точной последовательности Эйлера), имеем [math]\displaystyle{ \mathfrak{O}(-m-1) = K_Y \otimes \nu^*_{Y/\Complex\mathrm{P}^{m}} }[/math]. В частности, когда [math]\displaystyle{ Y }[/math] — гладкая гиперповерхность степени [math]\displaystyle{ m+1 }[/math], её каноническое расслоение тривиально. Для [math]\displaystyle{ m=2 }[/math] отсюда следует, что гладкая кубическая кривая на плоскости является эллиптической кривой, для [math]\displaystyle{ m=3 }[/math] отсюда следует наличие нигде не зануляющейся голоморфной 2-формы на поверхности четвёртой степени в проективном пространстве (вообще же отсюда следует, что гладкая гиперповерхность степени [math]\displaystyle{ m+1 }[/math] в [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^m }[/math] является многообразием Калаби-Яу).

Осталось доказать односвязность квартики. Для этого рассмотрим вложение по линейной системе [math]\displaystyle{ \mathfrak{O}(4) }[/math] [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^3 \to \Complex\mathrm{P}^{34} }[/math], относительно которого гиперплоские сечения высекают на образе ровно нулевые уровни однородных полиномов степени четыре (тем самым наша квартика [math]\displaystyle{ Y }[/math] есть подходящее гиперплоское сечение образа [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^3 }[/math] при таком вложении). По теореме Лефшеца о гиперплоском сечении оно устанавливает изоморфизм фундаментальных групп [math]\displaystyle{ \pi_1(Y) \to \pi_1(\Complex\mathrm{P}^3) }[/math], а фундаментальная группа комплексного проективного пространства, как известно, тривиальна. Таким образом, гладкая квартика [math]\displaystyle{ Y }[/math] ещё и односвязна, и, стало быть, является K3-поверхностью.

В вышеизложенном единственное принципиальное свойство [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^3 }[/math] — наличие у расслоения, двойственного к каноническому, сечения, нулевой уровень которого — гладкая поверхность. Тем же свойством обладает любое трёхмерное многообразие Фано, например [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^1 \times \Complex\mathrm{P}^1 \times \Complex\mathrm{P}^1 }[/math]. В данном случае антиканоническое расслоение ограничивается на каждый из сомножителей как его собственное антиканоническое расслоение, то есть [math]\displaystyle{ \mathfrak{O}_{\Complex\mathrm{P}^1}(2) }[/math], так что всякий антиканонический дивизор пересекает каждую из таких «координатных осей» в двух точках. Таким образом, такая K3-поверхность будет обладать тремя инволюциями: переставляющими точки пересечения с первым, вторым и третьим сомножителем. Аналогичная пара инволюций также имеется на кривой в [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^1 \times \Complex\mathrm{P}^1 }[/math], пересекающей оба сомножителя по два раза. Как известно, [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^1 \times \Complex\mathrm{P}^1 }[/math] биголоморфно квадрике в [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^3 }[/math], а такая кривая будет лежащей на квадрике эллиптической кривой. Эти две инволюции в данном случае будут порождать действие группы [math]\displaystyle{ \Z/2 * \Z/2 }[/math], свободного произведения, изоморфного бесконечной группе диэдра. Таким образом, либо орбиты этого действия на эллиптической кривой плотны, либо же это действие пропускается через конечный фактор (то есть какую-то группу диэдра конечного порядка), и все его орбиты конечны. Это утверждение имеет инкарнацию в элементарной геометрии, известную как поризм Понселе. В случае K3-поверхности три инволюции порождают действие куда более сложного тройного свободного произведения [math]\displaystyle{ \Z/2 * \Z/2 * \Z/2 }[/math], интересное с точки зрения голоморфной динамики.

Риччи-плоская метрика и куммеровы K3-поверхности

Эрнст Куммер

Все K3-поверхности кэлеровы (это доказал Сиу). Поскольку на них имеется нигде не зануляющаяся голоморфная форма старшей степени, к ним применима теорема Калаби — Яу, то есть для каждого класса [math]\displaystyle{ [\omega_g] }[/math], представляемого как симплектическая форма кэлеровой метрики [math]\displaystyle{ g }[/math], существует метрика нулевой кривизны Риччи в данном классе. Вместе с тем, эту метрику невозможно написать явно: теорема Калаби — Яу есть лишь теорема о существовании, но ни в коей мере не явная конструкция.

Единственный случай, когда существует хоть какое-то приближение — это случай так называемых куммеровых поверхностей. Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — комплексный тор, то есть фактор [math]\displaystyle{ \Complex^2/\Lambda }[/math], где [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] — решётка ранга четыре. Рассмотрим фактормногообразие [math]\displaystyle{ A/\{x \sim -x\} }[/math]. Стандартная голоморфная 2-форма [math]\displaystyle{ dz \wedge dw }[/math] на [math]\displaystyle{ A }[/math] (спускающаяся с [math]\displaystyle{ \Complex^2 }[/math]) инвариантна относительно умножения на [math]\displaystyle{ -1 }[/math], стало быть, она спускается на неособый локус в факторе. Особенности же имеют вид [math]\displaystyle{ \Complex^2/\{\pm 1\} }[/math]; раздутие в такой особенности локально есть кокасательное расслоение к [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^1 }[/math], и стандартная голоморфная 2-форма продолжается в такое раздутие. Особенности [math]\displaystyle{ A/\{\pm 1\} }[/math] это в точности точки 2-кручения на четырёхмерном торе, их [math]\displaystyle{ 2^4 = 16 }[/math] штук. Итак, раздувая эти [math]\displaystyle{ 16 }[/math] квадратичных особенностей, можно получить поверхность с тривиальным каноническим классом. Легко видеть, что она односвязна. Такая K3-поверхность называется куммеровой K3-поверхностью, связанной с комплексным тором [math]\displaystyle{ A }[/math]. В отличие от предыдущих примеров, такая поверхность может быть уже не вкладываться в проективное пространство, если не был проективным изначальный тор [math]\displaystyle{ A }[/math].

Риччи-плоская метрика на тотальном пространстве голоморфного кокасательного расслоения к [math]\displaystyle{ \Complex\mathrm{P}^1 }[/math] достаточно хорошо известна: это метрика Калаби — Эгучи — Хансона. Сложный аналитический вопрос состоит в том, как склеить её с плоской метрикой на гладкой части фактора тора при вдувании новых рациональных кривых. Для этого обе метрики необходимо менять глобально. Этот вопрос изучал Дональдсон. В его оптике он связан с вопросами о конструкциях многообразий со специальными голономиями (такими как G2-многообразия), которые, в отличие от K3-поверхностей, не имеют алгебраико-геометрического описания.

Топология K3-поверхностей

Келер

Топология куммеровых K3-поверхностей особенно понятна. Так, её второе число Бетти [math]\displaystyle{ b_2 }[/math] равняется [math]\displaystyle{ 6+16 = 22 }[/math]: [math]\displaystyle{ 6 }[/math] происходят с изначального четырёхмерного тора, а [math]\displaystyle{ 16 }[/math] — из шестнадцати вдуваемых кривых. Стало быть, эйлерова характеристика у них равна [math]\displaystyle{ 1+22+1 = 24 }[/math].

Оказывается, то же самое верно и для любой другой K3-поверхности: все K3-поверхности диффеоморфны. Более того, они, что называется, деформационно эквивалентны: любые две комплексные структуры K3-поверхности можно связать непрерывным путём в пространстве всех комплексных структур. Решётка [math]\displaystyle{ H_2(K3, \Z) }[/math] с её родной формой пересечения изоморфна [math]\displaystyle{ E_8(-1)^{\oplus 2} \oplus U^{\oplus 3} }[/math], где [math]\displaystyle{ E_8 }[/math] — решётка E8, а [math]\displaystyle{ U }[/math] — стандартная гиперболическая решётка. В частности, сигнатура решётки вторых когомологий равняется [math]\displaystyle{ (3,19) }[/math].

Поскольку все K3-поверхности кэлеровы, имеет смысл говорить об их числах Ходжа: у всех K3-поверхностей они равны [math]\displaystyle{ h^{2,0} = h^{0,2} = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ h^{1,1} = 20 }[/math]. Отсюда при помощи теоремы Ходжа об индексе легко вывести утверждение о сигнатуре.

Эллиптические K3-поверхности

Кодаира

Весьма примечательна геометрия K3-поверхностей, на которых имеется эллиптическая кривая. Именно, пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — K3-поверхность, и [math]\displaystyle{ E \subset X }[/math] — эллиптическая кривая. Из формулы присоединения (см. выше) мы знаем, что [math]\displaystyle{ K_E \cong K_X|_E \otimes \nu_{E/X} }[/math]. Но каноническое расслоение и у K3-поверхности, и у эллиптической кривой тривиально. Стало быть, и нормальное расслоение эллиптической кривой тривиально. Это означает, что эллиптическая кривая на K3-поверхности допускает семейство деформаций, которые не пересекают эту кривую (и друг друга). Эти деформации (включая и вырождающиеся) будут параметризовываться рациональной кривой, то есть одна эллиптическая кривая [math]\displaystyle{ E \subset X }[/math] на K3-поверхности определяет отображение [math]\displaystyle{ X \to \Complex\mathrm{P}^1 }[/math], слои которого суть [math]\displaystyle{ E }[/math] и её деформации. Это семейство называется пучком Лефшеца или эллиптическим расслоением. Сама такая K3-поверхность называется эллиптической K3-поверхностью.

У эллиптического расслоения на K3-поверхности всегда имеются особые слои (поскольку эйлерова характеристика K3-поверхности равна [math]\displaystyle{ 24 }[/math], а у эллиптической кривой она нулевая). Если все слои наиболее возможно простые — то есть просто декартовы листы, имеющие эйлерову характеристику [math]\displaystyle{ 1 }[/math], то особых слоёв должно быть [math]\displaystyle{ 24 }[/math] (вообще говоря, их будет меньше). На базе вне точек, слои над которыми особы имеется плоская связность, называемая связностью Лиувилля — Арнольда. Монодромия такой связности лежит в группе [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}(2,\Z) }[/math]. Рассмотрим группу [math]\displaystyle{ \widetilde{\mathrm{SL}(2,\Z)} }[/math], получающаюся как прообраз [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}(2,\Z) \subset \mathrm{SL}(2,\R) }[/math] в универсальном накрытии [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}(2,\R) }[/math]. Это центральное расширение [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}(2,\Z) }[/math] при помощи [math]\displaystyle{ \pi_1(\mathrm{SL}(2,\R) \cong \Z }[/math]. Обозначим образующую этой циклической подгруппы за [math]\displaystyle{ u }[/math]. Оказывается, существует гомоморфизм [math]\displaystyle{ i \colon \widetilde{\mathrm{SL}(2,\Z)} \to \Z }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ i(u) = 12 }[/math]. Аналог теоремы Гаусса — Бонне, доказанная Концевичем и Сойбельманом, утверждает, что если на поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math] с [math]\displaystyle{ n }[/math] проколами [math]\displaystyle{ x_1, \dots, x_n }[/math] имеется плоская связность с монодромией [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}(2,\Z) }[/math], то имеет место равенство [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n i(\gamma_k) = 12\chi(S) }[/math], где [math]\displaystyle{ \gamma_k }[/math] — монодромия вокруг прокола [math]\displaystyle{ x_k }[/math]. В частности, если все [math]\displaystyle{ i(\gamma_k) }[/math] равны единице, получаем всё те же двадцать четыре прокола.

Теорема Торелли

Если имеется голоморфное семейство K3-поверхностей над единичным диском, расслоение их вторых когомологий тривиализуется связностью Гаусса — Манина. Вместе с тем, как вариация структур Ходжа, оно уже не будет тривиальным (если не было тривиальным само семейство).

Структура Ходжа типа той, что на вторых когомологиях K3, однозначно определяется прямой [math]\displaystyle{ H^{2,0} \subset H^2(K3,\Complex) }[/math], порождённой классом голоморфной 2-формы [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ \Omega \wedge \bar{\Omega} }[/math] есть форма объёма риччи-плоской метрики, а [math]\displaystyle{ \Omega \wedge \Omega = 0 }[/math] умножается на себя нулём, эта прямая изотропна относительно формы пересечения. Таким образом, она может лежать только на некоторой гладкой квадрике в [math]\displaystyle{ \mathrm{P}(H^2(K3,\Complex)) }[/math]. Условие же [math]\displaystyle{ \Omega \wedge \bar{\Omega} \gt 0 }[/math] выделяет на этой квадрике некоторое открытое подмножество. Его можно описать следующим образом как однородное пространство.

Рассмотрим двумерное пространство [math]\displaystyle{ \mathrm{span}\{[\Omega], [\bar{\Omega}]\} \subset H^2(K3,\Complex) }[/math]. Оно инвариантно относительно комплексного сопряжения, и потому является комплексификацией некоторого двумерного вещественного подпространства [math]\displaystyle{ U_\Omega \subset H^2(K3,\R) }[/math]. Зададим на нём вещественный оператор как умножение на [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} }[/math] вдоль [math]\displaystyle{ [\Omega] }[/math] и на [math]\displaystyle{ -\sqrt{-1} }[/math] вдоль [math]\displaystyle{ [\bar{\Omega}] }[/math]. На вещественной плоскости [math]\displaystyle{ U_\Omega }[/math] этот оператор действует как поворот на [math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math] и тем самым определяет ориентацию. Из соотношения [math]\displaystyle{ \Omega \wedge \bar{\Omega} \gt 0 }[/math] следует, что форма пересечения на этой плоскости положительно определена. Обратно, если имеется такая плоскость, то в комплексификации имеется ровно две изотропные прямые, и выбор только одной из них даёт необходимую ориентацию. Таким образом, искомое открытое подмножество в квадрике — это то же самое, что множество ориентированных двумерных плоскостей с положительно определённым скалярным произведением в пространстве сигнатуры [math]\displaystyle{ (3,19) }[/math]. Группа изометрий такого пространства [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3,19) }[/math] действует на таких плоскостях транзитивно со стабилизатором [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(2) \times \mathrm{SO}(1,19) }[/math]. Итак, этот фактор [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{SO}(3,19)}{\mathrm{SO}(2) \times\mathrm{SO}(1,19)} }[/math] называется пространством периодов. Это, как видно из описания как открытого подмножества в квадрике, комплексное многообразие (это же можно увидеть и из вещественного описания, отождествляя ориентированную двумерную плоскость с плоскостью Аргана, то есть попросту комплексными числами — эквивалентность этих описаний есть несложное упражнение). С каждым семейством K3-поверхностей над диском связано голоморфное отображение из диска в это пространство периодов, называемое отображением периодов. Локальная теорема Торелли утверждает, что семейство K3-поверхностей над небольшим диском однозначно восстанавливается по своему отображению периодов.

Если мы хотим рассматривать только алгебраические K3-поверхности, то разумно фиксировать класс гиперплоского сечения [math]\displaystyle{ [\omega] \in H^{1,1} }[/math], он же класс кэлеровой формы (K3-поверхности с фиксированным классом гиперплоского сечения называются поляризованными). Поскольку [math]\displaystyle{ \Omega \wedge \omega = 0 }[/math], имеем дополнительное ограничение: [math]\displaystyle{ [\Omega] \in [\omega]^\perp }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ \omega \wedge \omega \gt 0 }[/math], это означает, что в таком случае [math]\displaystyle{ [\Omega] }[/math] может принимать значения только в подмножестве пространства периодов, устроенном как [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{SO}(2,19)}{\mathrm{SO}(2) \times \mathrm{SO}(19)} }[/math]. Это фактор группы по максимальной компактной подгруппе, и по теореме Картана биголоморфна некоторой ограниченной области в комплексном пространстве (в данном случае [math]\displaystyle{ \Complex^19 }[/math]). Эта область похожа на область Зигеля, и для рода два тесно с ней связана: сопоставление абелевой поверхности её куммеровой K3-поверхности даёт отображение области Зигеля рода два в область периодов. Модулярные формы на этой области дают интересную связь между классической теорией чисел и алгебраической геометрией.

Вместе с тем, действие ортогональной группы, сохраняющей решётку [math]\displaystyle{ H^2(K3,\Z) }[/math], на пространстве периодов, весьма далеко от того, чтобы фактор по этому действию имел хоть какой-то геометрический смысл. Так, образ области Зигеля при указанном выше сопоставлении — аналитическое подмногообразие большой коразмерности, но при этом любая алгебраическая K3-поверхность может быть сколь угодно малой деформацией превращена в куммерову K3-поверхность — то есть сдвиги этого образа под действием решётки образуют всюду плотное множество. Поэтому для формулировки глобального утверждения разумнее говорить не об изоморфизме факторов, а о голоморфном отображении, перестановочном с действием целочисленной ортогональной группы.

Именно, рассмотрим множество всех комплексных структур кэлерова типа на K3-поверхности. Фактор его по действию связной компоненты группы диффеоморфизмов — гладкое комплексное многообразие, хотя и нехаусдорфово (для кривых аналогичный фактор оказывается хаусдорфов и хорошо известен как пространство Тейхмюллера). Тогда отображение, отождествляющее точки, не отделимые друг от друга непересекающимися окрестностями, хорошо определено, и фактор по нему — гладкое комплексное многообразие, отображающееся отображением периодов на пространство периодов, и притом биголоморфно. Это утверждение и есть глобальная теорема Торелли.

Вырождения K3-поверхностей

Куликов

Рассмотрим случай голоморфного семейства над диском, все слои которого, кроме центрального — K3-поверхности, а центральный — некий особый дивизор с нормальными пересечениями, компоненты которого — гладкие поверхности кратности один, а всё тотальное пространство гладко. Такое семейство называется хорошим вырождением. Аналогичный вопрос для эллиптических кривых (см. выше) был изучен Кодаирой: он показал, что минимальные (то есть не допускающие сдутий) вырождения эллиптических кривых имеют тривиальное каноническое расслоение, и дал классификацию таких вырождений (более-менее в терминах диаграмм Дынкина). В случае вырождений поверхностей помимо раздутия центрального слоя существуют ещё так называемые модификации — нетривиальные бирациональные преобразования тотального пространства, сохраняющие слои и бирегулярные на каждом гладком слое. Вик. Куликов доказал, что после некоторой модификации тотальное пространство минимального хорошего вырождения K3-поверхностей также имеет тривиальное каноническое расслоение, и что перестройкой вырождение можно свести к одному из трёх случаев:

• центральный слой — гладкая K3-поверхность,
• центральный слой есть объединение гладких поверхностей [math]\displaystyle{ V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_{n-1} \cup V_n }[/math], притом поверхность [math]\displaystyle{ V_i }[/math] пересекается только с поверхностями [math]\displaystyle{ V_{i \pm 1} }[/math], все пересечения — эллиптические кривые, поверхности [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ V_n }[/math] рациональны, а поверхности [math]\displaystyle{ V_2, \dots V_{n-1} }[/math] — линейчатые эллиптические поверхности,
• центральный слой есть объединение рациональных поверхностей, пересекающихся по рациональным кривым; комплекс, вершины которого — неприводимые компоненты центрального слоя, рёбра — кривые, по которым они пересекаются, а грани — точки, в которых сходятся эти кривые, есть триангуляция двумерной сферы.

Примером вырождения II типа по Куликову может служить вырождение гладкой квартики в объединение двух квадрик (пересечение их — эллиптическая кривая), а вырождения III типа — вырождение гладкой квартики в объёдинение четырёх плоскостей (то есть поверхность тетраэдра — если вершины этого тетраэдра вещественны, упомянутая триангуляция будет двойственна к той, что дана этим тетраэдром).

Вырождения риччи-плоских метрик на K3-поверхностях

К вырождениям K3-поверхностей можно относиться по-разному. Помимо вышеописанной алгебраико-геометрической перспективы, на них можно смотреть с точки зрения дифференциальной геометрии. Именно, зафиксируем комплексную структуру [math]\displaystyle{ I }[/math] на K3-поверхности [math]\displaystyle{ X }[/math], и рассмотрим кэлеров конус [math]\displaystyle{ \mathfrak{C}_X \subset H^{1,1}(X) }[/math], то есть конус классов [math]\displaystyle{ [\omega] }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ \omega(x,y) = \omega_g(x,y) = g(Ix,y) }[/math] для какой-то кэлеровой метрики [math]\displaystyle{ g }[/math]. Это некоторый открытый конус, лежащий в конусе классов с [math]\displaystyle{ \alpha \wedge \alpha \gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \int_C\alpha \gt 0 }[/math] для всякой кривой [math]\displaystyle{ C \subset X }[/math]. Благодаря теореме Калаби — Яу, каждой точке этого конуса соответствует единственная риччи-плоская метрика. А что будет происходить с этой метрикой, если устремить точку конуса к его границе?

Ответ зависит, конечно, от точки на границе, к которой мы её устремляем. Например, если [math]\displaystyle{ X }[/math] — куммерова K3-поверхность, и [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]-форма, поднимающаяся с формы на абелевой поверхности, с которой она связана, то класс [math]\displaystyle{ [\alpha] }[/math] численно эффективен (то есть лежит в замыкании кэлерова конуса), и [math]\displaystyle{ \int_X \alpha\wedge\alpha \gt 0 }[/math] (такие классы называются объёмными). Вместе с тем, кэлеровым он не является, поскольку имеем [math]\displaystyle{ \alpha|_C = 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ C }[/math] — любая из шестнадцати исключительных кривых. В этом случае предел метрик хорошо определён (в смысле предела Громова — Хаусдорфа, не зависит от пути в кэлеровом конусе, и сходится к метрическому пополнению некоторой неполной риччи-плоской кэлеровой метрики, определённой вне шестнадцати исключительных кривых. Общий результат такого рода (для произвольных многообразий Калаби — Яу) был доказан Тосатти, Жангом и соавторами, но для куммеровых K3-поверхностей был получен ещё Лебрюном.

Вместе с тем, если класс [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] не является объёмным, то вырождение происходит иначе, и происходит т. н. схлопывание — предельное пространство имеетв определённом смысле меньшую размерность. Например, если [math]\displaystyle{ X }[/math] — эллиптическая K3-поверхность, и [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — обратный образ класса Фубини — Штуди с базы эллиптического пучка, то [math]\displaystyle{ \alpha \wedge \alpha = 0 }[/math]. Предельное поведение риччи-плоских метрик в такой ситуации было исследовано Гроссом и Вильсоном.

Динамические свойства K3-поверхностей

K3-поверхности часто допускают автоморфизмы, динамика которых хаотична (например, в том смысле, что их топологическая энтропия положительна, и имеется собственный класс в [math]\displaystyle{ H^{1,1} }[/math] с собственным числом больше [math]\displaystyle{ 1 }[/math]). Например, таким свойством обладает автоморфизм, получающийся на куммеровой поверхности, связанной с тором [math]\displaystyle{ \Complex^2/\{\Z\oplus\sqrt{-1}\Z\}^2 }[/math], подъёмом арнольдова автоморфизма «окрошки из кошки», определённого матрицей [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix} }[/math]. Мера максимальной энтропии в этом случае абсолютно непрерывна по мере Лебега; Канта и Дюпон доказали, что в алгебраическом случае все K3-поверхности с автоморфизмом такого свойства куммеровы (впоследствии Тосатти и Филип распространили это утверждение на неалгебраические K3-поверхности; этот результат был использован ими для построения классов на границе кэлерова конуса, сходимость риччи-плоских метрик при стремлении к которым обладает патологическими свойствами).

Голоморфную динамику описанной выше поверхности с тремя инволюциями изучал Барри Мазур.

Используя теорему Торелли, Макмуллен построил автоморфизмы K3-поверхностей, которые допускают диски Зигеля — то есть открытые области, сохраняемые автоморфизмом, и биголоморфные произведению двух дисков, на которых действие автоморфизма сопряжено повороту [math]\displaystyle{ (z,w) \mapsto (az,bw) }[/math], где [math]\displaystyle{ |a|=|b|=1 }[/math] — числа, не являющиеся корнями из единицы.

История

Первые примеры K3-поверхностей были исследованы Эйлером в процессе решения некоторых диофантовых уравнений (позже его идеи были развиты Рамануджаном). Геометрический подход к K3-поверхностям был заложен гораздо позже, в трудах Кэли, Куммера и Энрикеса.

Название «K3-поверхность» предложил в 1958 году Андре Вейль (в честь Куммера, Келера и Кодаиры). Он также пытался доказать теорему Торелли для алгебраических K3-поверхностей. Несколько позже Кодаира доказал, что все K3-поверхности, в том числе и неалгебраические, деформационно эквивалентны (в частности, диффеоморфны). Также он расклассифицировал особые слои у эллиптических K3-поверхностей.

Локальная теорема Торелли для алгебраических K3-поверхностей была доказана в 1965 году Тюриной, а глобальная — Пятецким-Шапиро и Шафаревичем в 1971 году. На неалгебраические K3-поверхности глобальную теорему Торелли распространили Бёрнс и Рапопорт в 1975. В 1977 году расклассифицировал вырождения K3-поверхностей Виктор Куликов и описал K3-поверхности с конечными группами автоморфизмов Никулин.