Круговое поле
Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле [math]\displaystyle{ K_n = \mathbb {Q}(u) }[/math], порождённое присоединением к полю рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb {Q} }[/math] первообразного корня n-й степени из единицы [math]\displaystyle{ u }[/math]. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.
Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.
Пример: [math]\displaystyle{ K_3 }[/math] состоит из комплексных чисел вида [math]\displaystyle{ a+b \sqrt{3}\ i }[/math], где [math]\displaystyle{ a, b }[/math] — рациональные числа.
Свойства
- Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
- Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена [math]\displaystyle{ x^n-1 }[/math].
- [math]\displaystyle{ K_{4n+2} = K_{2n+1} }[/math], поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 [math]\displaystyle{ (n \not \equiv 2 \pmod{4}) }[/math]. При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
- Поле [math]\displaystyle{ K_n }[/math] является абелевым расширением поля [math]\displaystyle{ {\mathbb Q} }[/math] с группой Галуа [math]\displaystyle{ G (K_n / {\mathbb Q}) \simeq (\Z/n\Z)^*, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ (\Z/n\Z)^* }[/math] — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения [math]\displaystyle{ [K_n : {\mathbb Q}] }[/math] равна φ(n) (функция Эйлера).
Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.
См. также
Литература
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.
Ссылки
- Milne, James S. Algebraic Number Theory. Course Notes (1998). Архивировано 2 апреля 2012 года.