Хребтовая функция

Хребтовая функция — функция комплексного переменного, модуль которой в каждой точке некоторого интервала мнимой оси больше или равен модулю функции во всех точках прямой, параллельной действительной оси. Понятие хребтовой функции и изучение её свойств впервые провёл Дюге.

Определение

Функция комплексного переменного [math]\displaystyle{ z }[/math], определённая и аналитическая в области [math]\displaystyle{ D }[/math], содержащей интервал [math]\displaystyle{ \left ( ia, ib \right ) }[/math] мнимой оси [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math] называется хребтовой в [math]\displaystyle{ D }[/math] вдоль интервала [math]\displaystyle{ \left ( ia, ib \right ) }[/math] мнимой оси, если для всех [math]\displaystyle{ z=x+iy \in D, y \in \left ( a, b \right ) }[/math] верно нерваенство [math]\displaystyle{ \left | f(x+iy) \right | \leq \left | f(iy) \right | }[/math] .

Свойства

Если функция [math]\displaystyle{ f \not\equiv 0 }[/math], хребтовая в [math]\displaystyle{ D }[/math], то:

• функция [math]\displaystyle{ \arg f(iy) }[/math] постоянна для всех [math]\displaystyle{ y \in \left ( a, b \right ) }[/math].
• функция [math]\displaystyle{ \ln \left | f(iy) \right | }[/math] выпукла для всех [math]\displaystyle{ y \in \left ( a, b \right ) }[/math](Теорема Дюге).

Литература

• Рамачандран Б. / Пер. с англ. С. Г. Малошевского и Б. П. Тимофеева ; Под ред. В. В. Петрова. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.