Колебательный контур

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности, конденсатор и источник электрической энергии. При последовательном соединении элементов цепи колебательный контур называется последовательным, при параллельном — параллельным.

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания (при отсутствии в ней источника электрической энергии).

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона:

[math]\displaystyle{ f_0 = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}. }[/math]

Принцип действия

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения [math]\displaystyle{ U_0 }[/math]. Энергия, запасённая в конденсаторе, составляет

[math]\displaystyle{ E_C = \frac{CU_0^2}{2}. }[/math]

Параллельный колебательный контур

Осциллограмма LC-контура во время замыкания заряженного конденсатора на катушку индуктивности.
С — 240 нФ (заряженный)
L — 360 нГн
F₀ ≈ 542 кГц

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности в цепи потечёт ток [math]\displaystyle{ I }[/math], что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности), в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора [math]\displaystyle{ E_C = 0 }[/math]. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

[math]\displaystyle{ E_L = \frac{LI_0^2}{2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ L }[/math] — индуктивность катушки, [math]\displaystyle{ I_0 }[/math] — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть зарядка конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор в этом случае снова будет заряжен до напряжения [math]\displaystyle{ -U_0 }[/math].

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

Описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи больше тока, проходящего через весь контур, причём эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

Математическое описание процессов

Напряжение на идеальной катушке индуктивности при изменении протекающего тока:

[math]\displaystyle{ u_L = L\frac{di_L}{dt}. }[/math]

Ток, протекающий через идеальный конденсатор, при изменении напряжения на нём:

[math]\displaystyle{ i_C = C\frac{du_C}{dt}. }[/math]

Из правил Кирхгофа, для цепи, составленной из параллельно соединённых конденсатора и катушки, следует:

[math]\displaystyle{ u_L+u_C=0, }[/math] — для напряжений,

и

[math]\displaystyle{ i_C=i_L }[/math] — для токов.

Совместно решая систему дифференциальных уравнений (дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое), получаем:

[math]\displaystyle{ \frac{d ^{2}q(t)}{dt^{2}} + \frac{1}{LC} q(t) = 0. }[/math]

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой собственных колебаний [math]\displaystyle{ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} }[/math] (она называется собственной частотой гармонического осциллятора).

Решением этого уравнения 2-го порядка является выражение, зависящее от двух начальных условий:

[math]\displaystyle{ i(t) = I_a \sin({\omega}t+\varphi), }[/math]

где [math]\displaystyle{ I_a }[/math] — некая постоянная, определяемая начальными условиями, называемая амплитудой колебаний, [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — также некоторая постоянная, зависящая от начальных условий, называемая начальной фазой.

Например, при начальных условиях [math]\displaystyle{ \varphi = 0 }[/math] и амплитуде начального тока [math]\displaystyle{ I_a }[/math] решение сведётся к:

[math]\displaystyle{ i(t) = I_a \sin( {\omega}t ). }[/math]

Решение может быть записано также в виде

[math]\displaystyle{ i(t) = I_{a1} \sin({\omega}t)+I_{a2} \cos({\omega}t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ I_{a1} }[/math] и [math]\displaystyle{ I_{a2} }[/math] — некоторые константы, которые связаны с амплитудой [math]\displaystyle{ I_a }[/math] и фазой [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] следующими тригонометрическими соотношениями:

[math]\displaystyle{ I_{a1} = I_a\cos{(\varphi)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ I_{a2} = I_a\sin{(\varphi)}. }[/math]

Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура

Колебательный контур может быть рассмотрен как двухполюсник, представляющий собой параллельное включение конденсатора и катушки индуктивности. Комплексное сопротивление такого двухполюсника можно записать как

[math]\displaystyle{ \hat z(i \omega)\;= \frac {i \omega L}{1 - \omega ^2 LC}, }[/math]

где i — мнимая единица.

Для такого двухполюсника может быть определена т. н. характеристическая частота (или резонансная частота), когда импеданс колебательного контура стремится к бесконечности (знаменатель дроби стремится к нулю).

Эта частота равна

[math]\displaystyle{ \omega_{h} = \frac{1}{\sqrt{LC}} }[/math]

и совпадает по значению с собственной частотой колебательного контура.

Из этого уравнения следует, что на одной и той же частоте может работать множество контуров с разными величинами L и C, но с одинаковым произведением LC. Однако выбор соотношения между L и C зачастую не бывает полностью произвольным, так как обуславливается требуемым значением добротности контура.

Для последовательного контура добротность растёт с увеличением L:

[math]\displaystyle{ Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}, }[/math]

где R — активное сопротивление контура. Для параллельного контура:

[math]\displaystyle{ Q = R_e \sqrt{\frac{C}{L}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_e = \frac{L}{ C R_{L + C}} }[/math], ([math]\displaystyle{ R_{L + C} }[/math] — сумма активных сопротивлений в цепи катушки и цепи конденсатора).

Понятие добротности связано с тем, что в реальном контуре существуют потери энергии (на излучение и нагрев проводников). Обычно считают, что все потери сосредоточены в некотором эквивалентном сопротивлении [math]\displaystyle{ R_e }[/math], которое в последовательном контуре включено последовательно с L и C, а в параллельном — параллельно им. Малые потери (то есть высокая добротность) означают, что [math]\displaystyle{ R_e }[/math] в последовательном контуре мало, а в параллельном — велико. В низкочастотном последовательном контуре [math]\displaystyle{ R_e }[/math] легко обретает физический смысл — это в основном активное сопротивление провода катушки и проводников цепи.

Практическое применение

Резонансные контуры широко используются как полосовые и режекторные фильтры — в усилителях, радиоприёмниках, а также в различных устройствах автоматики. Например, на самолётах Ил-62М, Ил-76 и Ту-154М установлены блоки регулирования частоты БРЧ-62БМ, в главном элементе которых — блоке измерения частоты БИЧ-1 — имеются два колебательных контура, настроенных на частоты 760 и 840 Гц. На них поступает напряжение с номинальной частотой 800 Гц от подвозбудителя генератора (сам генератор при этом выдаёт 400 Гц). При отклонении частоты от номинальной реактивное сопротивление одного из контуров становится больше, чем другого, и БРЧ выдаёт на привод постоянных оборотов генератора управляющий сигнал для коррекции оборотов генератора. Если частота поднялась выше номинальной — сопротивление второго контура станет меньше, чем первого, и БРЧ выдаст сигнал на уменьшение оборотов генератора, если частота упала — то наоборот. Так поддерживается постоянство частоты напряжения генератора при изменении оборотов двигателя.

См. также

• Резонанс токов
• Резонанс напряжений
• Электрический импеданс
• Многополюсник
• Электромагнитное излучение
• Потенциальная энергия
• Кинетическая энергия
• RC-цепь
• LR-цепь
• Гетеродинный индикатор резонанса

Литература

• Попов В. П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов / В. П. Попов. — 4-е изд., испр. — М.: Высш. шк., 2003. — 575 с.
• Скрипников Ю. Ф. Колебательный контур — М.: Энергия, 1970—128 с.: ил. — (МРБ; Вып. 739)
• Изюмов Н. М., Линде Д. П. Основы радиотехники. — М.:Радио и связь, 1983
• Фролов А. Д. Радиодетали и узлы. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 195-223. — 440 с. — (Учебное пособие для вузов).