Добротность

Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Обозначается символом [math]\displaystyle{ Q }[/math] от англ. quality factor.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Теория

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

[math]\displaystyle{ Q = \frac{\omega_0 W}{P_d} = \frac{2\pi f_0 W}{P_d} }[/math],

где

• [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] — резонансная круговая частота колебаний
• [math]\displaystyle{ f_0 }[/math] — резонансная частота колебаний
• [math]\displaystyle{ W }[/math] — энергия, запасённая в колебательной системе
• [math]\displaystyle{ P_d }[/math] — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для последовательного колебательного контура в RLC-цепях, в котором все три элемента включены последовательно:

[math]\displaystyle{ Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\omega_0 L}{R}, }[/math]

где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно, а [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] — частота резонанса. Выражение [math]\displaystyle{ \sqrt{L/C} }[/math] часто называют характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура. Таким образом, добротность в колебательном контуре равна отношению волнового сопротивления к активному.

Для параллельного контура, в котором индуктивность, ёмкость и сопротивление включены параллельно:

[math]\displaystyle{ Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{\omega_0 L} }[/math]

Формулировка частотного отклика или ширины полосы пропускания колебательной системы

ЛАФЧХ колебательных звеньев с разной добротностью

В данном случае R является входным сопротивлением параллельного контура. Однако практически для электрической цепи гораздо проще измерить ток или напряжение, чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды колебаний, ширина полосы частот на АЧХ определяется на высоте [math]\displaystyle{ 1/\sqrt{2} }[/math] от высоты максимума (примерно −3 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой [math]\displaystyle{ \Delta\omega }[/math] по уровню [math]\displaystyle{ 1/\sqrt{2} }[/math] с круговой частотой резонанса [math]\displaystyle{ \omega_0 = 2\pi f_0: }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}=\frac{\pi}{\delta}= \pi N_e , }[/math]

где δ — логарифмический декремент затухания, равный отношению полуширины резонансной кривой к частоте резонанса, [math]\displaystyle{ N_e }[/math] — число колебаний за время релаксации.

Для электрически малых антенн добротность можно определить соотношением:

[math]\displaystyle{ Q = \frac{\omega_0 [W_e + W_m]}{P} }[/math],

где

• [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] — резонансная круговая частота электромагнитных колебаний
• [math]\displaystyle{ W_e }[/math] — энергия электрического поля, запасённая в антенне
• [math]\displaystyle{ W_m }[/math] — энергия магнитного поля, запасённая в антенне
• [math]\displaystyle{ P }[/math] — рассеиваемая антенной мощность.

Метрологические аспекты

Для измерения электрической добротности на частотах до десятков и сотен мегагерц применяют измеритель добротности или измеритель иммитанса (косвенным способом), в диапазоне СВЧ применяются специальные методы.

См. также

Измеритель добротности

Литература

• Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — Высшая школа, 1980. — 408 с. — 10 000 экз.
• Горелик Г. С. Колебания и волны. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 572 с.

Ссылки

• ГПЭ единицы электрической добротности (неопр.). ФГУП «СНИИМ». Дата обращения: 12 февраля 2015.