Квантование Дирака

Квантова́ние Дира́ка — эвристический аргумент, предложенный П. Дираком и показывающий, что однозначность предсказаний квантовой механики с электрическими зарядами может быть сохранена в теории, включающей магнитные монополи, лишь при условии совместного квантования магнитного и электрического зарядов.

Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополя

Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано 4-векторным потенциалом А_μ, если допустить существование скачка A_μ на некоторой (произвольной) поверхности S, проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части. При этом напряжённость магнитного поля непрерывна на поверхности S всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований. Циркуляция скачка A по любому контуру, лежащему на S и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку, исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса) его магнитному заряду g. Контурный интеграл от 4-вектора A даёт вклад в фазу φ волновой функции пробной частицы с электрическим зарядом e, и скачок φ, соответствующий скачку А_μ на поверхности S, равен [math]\displaystyle{ \Delta \varphi = eg/\hbar c . }[/math] При выполнении условия Дирака [math]\displaystyle{ \Delta \varphi = 2 \pi n, }[/math] так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок А_μ не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона, поэтому поверхность S ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна» или «нить» Дирака).

Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене [math]\displaystyle{ l(l+1) }[/math] на [math]\displaystyle{ l(l+1) - 1/4n^2 }[/math] (n — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера, при этом орбитальный угловой момент [math]\displaystyle{ l }[/math] может принимать значения

[math]\displaystyle{ l_n = \frac {1}{2}|n|; \frac {1}{2}|n|+1; \frac {1}{2}|n|+2;... }[/math]

[math]\displaystyle{ l_1 = 1/2; 3/2; 5/2;... }[/math] при [math]\displaystyle{ n = 1, }[/math]

[math]\displaystyle{ l_2 = 1; 2; 3;... }[/math] при [math]\displaystyle{ n = 2, }[/math]

[math]\displaystyle{ l_3 = 3/2; 5/2; 7/2;... }[/math] при [math]\displaystyle{ n = 3, }[/math]

[math]\displaystyle{ l_4 = 2; 3; 4;... }[/math] при [math]\displaystyle{ n = 4. }[/math]

Заметим, что при нечётном n система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом. Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными электрическими и магнитными зарядами образуется дион (частица, несущая одновременно электрический и магнитный заряды), подчиняющийся статистике Ферми — Дирака, т.е. фермион. Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.