Гравитационное поле Земли
Гравитационное поле Земли — поле силы тяжести, обусловленное тяготением Земли и центробежной силой, вызванной её суточным вращением. Характеризуется пространственным распределением силы тяжести и гравитационного потенциала.
Для решения практических задач потенциал земного притяжения (без учёта центробежной силы и влияния других небесных тел) выражается в виде ряда[1]
- [math]\displaystyle{ V(r,\phi,\lambda)= \frac{GM}{r} \left[ 1 + \sum^\infty_{n=1} \left( \frac{a}{r} \right)^n \sum^n_{m=0} P_{nm} \sin \phi \left( C_{nm} \cos m\lambda + S_{nm} \sin m \lambda \right) \right], }[/math] где
- [math]\displaystyle{ r, \phi, \lambda }[/math] — полярные координаты, [math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная, [math]\displaystyle{ M }[/math] — масса Земли, [math]\displaystyle{ GM }[/math] = 398 603⋅109 м3·с−2, [math]\displaystyle{ a }[/math] — большая полуось Земли.
Ускорение свободного падения
В неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах[2]. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с²[3][4]. Стандартное значение[англ.] g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/с².
В СМИ и научно-популярной литературе g нередко используется как внесистемная единица силы тяжести, применяемая, например, для оценки величины перегрузок при тренировках лётчиков и космонавтов, а также силы тяготения на других небесных телах (см. раздел Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами).
Получение значения g из закона всемирного тяготения
Согласно закону всемирного тяготения, сила земной гравитации, действующая на тело, определяется формулой
- [math]\displaystyle{ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}=\left(G \frac{m_1}{r^2}\right) m_2 }[/math],
где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), m1 — масса Земли и m2 — масса тела.
Кроме того, согласно второму закону Ньютона, F = ma, где m — масса и a — ускорение,
- [math]\displaystyle{ F = m_2g }[/math]
Из сопоставления двух формул видно, что
- [math]\displaystyle{ g=G \frac {m_1}{r^2} }[/math]
Таким образом, чтобы найти получить значение ускорения силы тяжести g на уровне моря, необходимо в формулу подставить значения гравитационной постоянной G, массы Земли (в килограммах) m1 и радиуса Земли (в метрах) r :
- [math]\displaystyle{ g=G \frac {m_1}{r^2}=(6.67384 \times 10^{-11}) \frac{5.9722 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2}=9.8196 \mbox{m} \cdot \mbox{s}^{-2} }[/math]
Следует отметить, что эта формула правомерна для сферического тела при допущении, что вся его масса сосредоточена в его центре. Это позволяет нам использовать величину радиуса Земли для r.
Существуют значительные неопределенности значений r и m1, а также значения гравитационной постоянной G, которую трудно точно измерить.
Если G,g и r известны, то решение обратной задачи позволит получить величину массы Земли.
Гравитационные аномалии
Гравитационные аномалии применительно к геофизике — отклонения величины гравитационного поля от расчётной, вычисленной на основе той или иной математической модели. Гравитационный потенциал земной поверхности, или геоида, обычно описывается на основании математических теорий с использованием гармонических функций[6]. Эти отклонения могут быть вызваны различными факторами, в том числе:
- Земля не является однородной, её плотность различна на разных участках;
- Земля не является идеальной сферой, и в формуле используется среднее значение величины её радиуса;
- Расчётное значение g учитывает только силу тяжести и не учитывает центробежную силу, возникающую за счёт вращения Земли;
- При подъёме тела над поверхностью Земли значение g уменьшается («высотная поправка» (см. ниже), аномалия Бугера);
- На Землю воздействуют гравитационные поля других космических тел, в частности, приливные силы Солнца и Луны.
Высотная поправка
Первая поправка для стандартных математических моделей, так называемая высотная аномалия[англ.], позволяет учесть изменение величины g в зависимости от высоты над уровнем моря[7]. Используем значения массы и радиуса Земли:
- [math]\displaystyle{ r_\mathrm{Earth}= 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ m_\mathrm{Earth}= 5.9722 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} }[/math]
Поправочный коэффициент (Δg) может быть получены из соотношения между ускорением силы тяжести g и гравитационной постоянной G:
- [math]\displaystyle{ g_0 = G \, m_\mathrm{Earth} / r_\mathrm{Earth}^2 = 9.8196\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} }[/math], где:
- [math]\displaystyle{ G = 6.67384 \times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^2}. }[/math].
На высоте h над поверхностью Земли gh рассчитывается по формуле:
- [math]\displaystyle{ g_h = G \, m_\mathrm{Earth} / \left( r_\mathrm{Earth} + h \right) ^2 }[/math]
Так, высотная поправка для высоты h может быть выражена:
- [math]\displaystyle{ \Delta g_h = \left [ G \, m_\mathrm{Earth} / \left( r_\mathrm{Earth} + h \right) ^2 \right ] - \left[G \, m_\mathrm{Earth} / r_\mathrm{Earth}^2 \right] }[/math].
Это выражение может быть легко использовано для программирования или включения в таблицу. Упрощая и пренебрегая малыми величинами (h<<rEarth), получаем хорошее приближение:
- [math]\displaystyle{ \Delta g_h \approx - \, \dfrac{ G \, m_\mathrm{Earth}}{ r_\mathrm{Earth} ^2} \times \dfrac{ 2 \,h}{r_\mathrm{Earth}} }[/math].
Используя приведённые выше численные значения выше, и высоту h в метрах, получим:
- [math]\displaystyle{ \Delta g_h \approx - 3.083 \times 10^{-6}\, h }[/math]
Учитывая широту местности и высотную поправку, получаем:
- [math]\displaystyle{ g_{\phi, h}=9.780 327 \left( 1+0.0053024\sin^2 \phi-0.0000058\sin^2 2\phi \right) - 3.086 \times 10^{-6}h }[/math],
где [math]\displaystyle{ \ g_{\phi, h} }[/math] — ускорение свободного падения на широте [math]\displaystyle{ \ \phi }[/math] и высоте h. Это выражение можно также представить в следующем виде:
- [math]\displaystyle{ g_{\phi, h}=9.780327 \left[ \left( 1+0.0053024\sin^2 \phi-0.0000058\sin^2 2\phi \right) - 3.155 \times 10^{-7}h \right] \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} }[/math].
Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами
В таблице приведены значения величин ускорения свободного падения на поверхности Земли, Солнца, Луны, планет Солнечной системы, ряда спутников и астероидов. Для планет — гигантов под «поверхностью» понимается видимая поверхность, а для Солнца — верхняя граница фотосферы. Данные в таблице не учитывают эффекта центробежной силы от вращения планет и фактически означают значения искомых величин вблизи полюсов планет. Справочно указано время падения объекта на данное небесное тело со 100-метровой высоты и максимальная скорость, достигаемая при этом (сопротивление воздуха не учтено).
| Небесное тело | Сила тяжести по сравнению с земной |
Ускорение свободного падения на поверхности, м/с2 |
Примечания | Время падения со 100-метровой высоты/ Достигаемая при этом скорость | |
|---|---|---|---|---|---|
| Солнце | 27,90 | 274,1 | 0,85 сек | 843 км/ч | |
| Меркурий | 0,3770 | 3,7 | 7,4 сек | 98 км/ч | |
| Венера | 0,905 | 8,872 | 4,8 сек | 152 км/ч | |
| Земля | 1 | 9,80665 | [8] | 4,5 сек | 159 км/ч |
| Луна | 0,1657 | 1,625 | 11,1 сек | 65 км/ч | |
| Марс | 0,3795 | 3,728 | 7,3 сек | 98 км/ч | |
| Церера | 0,028 | 0,27 | 26,7 сек | 27 км/ч | |
| Юпитер | 2,640 | 25,93 | 2,8 сек | 259 км/ч | |
| Ио | 0,182 | 1,789 | 10,6 сек | 68 км/ч | |
| Европа | 0,134 | 1,314 | 12,3 сек | 58 км/ч | |
| Ганимед | 0,145 | 1.426 | 11,8 сек | 61 км/ч | |
| Каллисто | 0,126 | 1,24 | 12,7 сек | 57 км/ч | |
| Сатурн | 1,139 | 11,19 | 4,2 сек | 170 км/ч | |
| Титан | 0,138 | 1,352 | 12,2 сек | 59 км/ч | |
| Уран | 0,917 | 9,01 | 4,7 сек | 153 км/ч | |
| Титания | 0,039 | 0,379 | 23,0 сек | 31 км/ч | |
| Оберон | 0,035 | 0,347 | 24,0 сек | 30 км/ч | |
| Нептун | 1,148 | 11,28 | 4,2 сек | 171 км/ч | |
| Тритон | 0,079 | 0,779 | 16,0 сек | 45 км/ч | |
| Плутон | 0,063 | 0,62 | 18,1 сек | 40 км/ч | |
| Эрида | 0,0814 | 0,8 | (приблизит.) | 15,8 сек | 46 км/ч |
См. также
Примечания
- ↑ Миронов, 1980, с. 52-56.
- ↑ «Свободное падение тел. Ускорение свободного падения». Дата обращения: 30 июля 2015. Архивировано 4 сентября 2019 года.
- ↑ Declaration on the unit of mass and on the definition of weight; conventional value of gn (англ.). Resolution of the 3rd CGPM (1901). BIPM. Дата обращения: 11 ноября 2015. Архивировано 25 июня 2013 года.
- ↑ В. М. Деньгуб, В. Г. Смирнов. Единицы величин. Словарь — справочник. М.: Изд-во стандартов, 1990, с. 237.
- ↑ NASA/JPL/University of Texas Center for Space Research PIA12146: GRACE Global Gravity Animation. Photojournal. NASA Jet Propulsion Laboratory. Дата обращения: 30 декабря 2013. Архивировано 30 декабря 2013 года.
- ↑ В.Л.Пантелеев. "Теория фигуры Земли" (курс лекций). Дата обращения: 31 июля 2015. Архивировано 12 января 2006 года.
- ↑ Fowler, C.M.R. The Solid Earth: An Introduction to Global Geophysics (англ.). — 2. — Cambridge: Cambridge University Press, 2005. — P. 205—206. — ISBN 0-521-89307-0.
- ↑ Это значение исключает влияние центробежной силы из-за вращения Земли и, следовательно, больше, чем стандартное значение 9,80665 м/сек2.
Ссылки
- Altitude gravity calculator
- GRACE — Gravity Recovery and Climate Experiment
- GGMplus high resolution data (2013)
Литература
- Миронов В.С. Курс гравиразведки. — Л.: Недра, 1980. — 543 с.
