Субдифференциал

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение

Субдифференциалом [math]\displaystyle{ \partial f(x_0) }[/math] выпуклой функции [math]\displaystyle{ f\colon E \rightarrow \mathbb R }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется множество, состоящее из всех линейных функционалов [math]\displaystyle{ p \in E^* }[/math], удовлетворяющих для всех [math]\displaystyle{ x \in E }[/math] неравенству

[math]\displaystyle{ p( x-x_0 ) \leq f(x)-f(x_0) }[/math].

Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] называется субдифференцируемой в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], если множество [math]\displaystyle{ \partial f(x_0) }[/math] непусто.

Вектор [math]\displaystyle{ p \in E^* }[/math], принадлежащий субдифференциалу [math]\displaystyle{ \partial f(x_0) }[/math], называется субградиентом функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Свойства

[math]\displaystyle{ \partial f(x_0) }[/math] — выпуклое (возможно пустое) множество в [math]\displaystyle{ E^* }[/math]

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, [math]\displaystyle{ \lambda \geq 0 }[/math], тогда

[math]\displaystyle{ \partial \left(f_1(x)+f_2(x) \right) = \partial \left(f_1(x) \right)+ \partial \left(f_2(x)\right) }[/math], сумма понимается в смысле суммы Минковского.

[math]\displaystyle{ \partial \left(\lambda f_1(x)\right)=\lambda \partial f_1(x) }[/math]

Если функция [math]\displaystyle{ f: E \rightarrow \mathbb R }[/math] выпукла и непрерывна в точке [math]\displaystyle{ x \in E }[/math], то она субдифференцируема в этой точке [math]\displaystyle{ x \in E }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \partial f(x)\neq \varnothing }[/math], и её субдифференциал [math]\displaystyle{ \partial f(x) }[/math] является множеством компактным и выпуклым

Пусть функция [math]\displaystyle{ f: E \rightarrow \mathbb R }[/math] выпукла и конечна. В этом случае функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] дифференцируема по Гато в точке [math]\displaystyle{ x_0 \in E }[/math] тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора [math]\displaystyle{ \partial f(x_0)=\left\{ \frac{\partial f(x_0)}{\partial x}\right\} }[/math]

Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

Если последовательность выпуклых функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] сходится поточечно к выпуклой функции [math]\displaystyle{ f }[/math], то для любой сходящейся последовательности [math]\displaystyle{ p_n\in\partial_{x_0}f_n }[/math] её предел [math]\displaystyle{ p=\lim_{n\to\infty}p_n }[/math] принадлежит субдифференциалу [math]\displaystyle{ \partial_{x_0}f }[/math].

Ссылки

Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.