Быстрота

Быстрота́ (англ. rapidity, иногда применяются также термины гиперскорость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

[math]\displaystyle{ \theta=c\,\operatorname{Arth}\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}}, }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — быстрота,
• [math]\displaystyle{ v }[/math] — обычная скорость,
• [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света,
• [math]\displaystyle{ \operatorname{Arth}x }[/math] — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) [math]\displaystyle{ \operatorname{Arth}x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} }[/math] определён в области значений аргумента от −1 до +1; при [math]\displaystyle{ x\to\plusmn 1 }[/math] функция [math]\displaystyle{ \operatorname{Arth}x\to\plusmn\infty. }[/math]

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от [math]\displaystyle{ -c }[/math] до [math]\displaystyle{ +c }[/math] меняется от [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] до [math]\displaystyle{ +\infty }[/math]. Иногда вводят также параметр быстроты [math]\displaystyle{ \varphi\equiv\theta/c\equiv\operatorname{Arth}\frac{v}{c} }[/math] — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где [math]\displaystyle{ c = 1 }[/math], которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

[math]\displaystyle{ \theta = v\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{c}\right)^2 + ... \right)\approx v }[/math] при [math]\displaystyle{ v\ll c }[/math].

В ультрарелятивистском случае [math]\displaystyle{ E \gg m }[/math] параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс [math]\displaystyle{ p_{\|} = p \cos \alpha }[/math] (где α — угол вылета) следующим образом:

[math]\displaystyle{ \varphi = \frac{1}{2}\ln\frac{E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}. }[/math]

При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс [math]\displaystyle{ p_{\perp} = p \sin \alpha }[/math] и параметр быстроты:

[math]\displaystyle{ E = \sqrt{m^2 c^4 + p_{\perp}^2 c^2}\operatorname{ch}\varphi, }[/math]

[math]\displaystyle{ p_{\|} = \sqrt{m^2 c^4 + p_{\perp}^2 c^2}\operatorname{sh}\varphi. }[/math]

Фактор Лоренца

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

[math]\displaystyle{ \gamma \equiv \frac {1} {\sqrt{ 1 - v^2 / c^2}}. }[/math]

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

[math]\displaystyle{ \gamma=\operatorname{ch}\varphi. }[/math]

С увеличением скорости от 0 до [math]\displaystyle{ c }[/math] лоренц-фактор [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] увеличивается от 1 до [math]\displaystyle{ +\infty }[/math].

Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:

[math]\displaystyle{ \beta\gamma=\operatorname{sh}\varphi. }[/math]

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта [math]\displaystyle{ K }[/math] две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна [math]\displaystyle{ v_1 }[/math], а скорость второй относительно первой равна [math]\displaystyle{ v'_2 }[/math] (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе [math]\displaystyle{ K }[/math] через [math]\displaystyle{ v_2 }[/math]. При малых (по сравнению со скоростью света [math]\displaystyle{ c }[/math]) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей [math]\displaystyle{ v_2=v_1+v'_2 }[/math]. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

[math]\displaystyle{ v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+\dfrac{v_1v'_2}{c^2}} }[/math]

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты [math]\displaystyle{ \theta \equiv c\,\mathrm{Arth}\frac{v}{c} }[/math]. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта [math]\displaystyle{ K }[/math] равна сумме быстрот:

[math]\displaystyle{ \theta_2=\theta_1+\theta'_2. }[/math]

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Вводится также полная быстрота [math]\displaystyle{ \vartheta = c\cdot\frac{1}{2}\ln\frac{E+cp}{E-cp}, }[/math] аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского ([math]\displaystyle{ x_0 = ict }[/math]) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j² = +1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρe^jφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e^jφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:

λ(φ)·λ(ψ) = e^jφ·e^jψ = e^{j(φ + ψ)} = λ(φ + ψ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

[math]\displaystyle{ p=mc\cdot\operatorname{sh}\frac{\theta}{c}=mc\cdot\operatorname{sh}\varphi, }[/math]

где:

• m — масса,
• c — скорость света,
• φ = θ/c — параметр быстроты (безразмерная быстрота).

Полная энергия:

[math]\displaystyle{ E = mc^2\cdot\operatorname{ch}\frac{\theta}{c} = mc^2\cdot\operatorname{ch}\varphi. }[/math]

Скорость в СТО:

[math]\displaystyle{ v=c\cdot\operatorname{th}\frac{\theta}{c}=c\cdot\operatorname{th}\varphi. }[/math] Безразмерная скорость [math]\displaystyle{ \beta = \operatorname{th}\varphi. }[/math]

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

[math]\displaystyle{ 1+z=e^{\theta/c}=e^\varphi, }[/math]

где [math]\displaystyle{ z }[/math] — параметр красного смещения.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского (рус.) // Соросовский образовательный журнал. — 2004. — Т. 8. — С. 77—84.
• Гришин В. Г. Быстрота // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 233. — 707 с. — 100 000 экз.