Большая полуось

Большая полуось — один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.

Эллипс

Основные параметры эллипса. Большая полуось обозначена как [math]\displaystyle{ a }[/math].

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр — отрезок проходящий через центр и два фокуса. Большая полуось составляет половину этого расстояния и идёт от центра эллипса к его краю через фокус.

Под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — минимальное расстояние от центра эллипса до его края. У частного случая эллипса — круга — большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом, можно рассматривать большую и малую полуоси как некоего рода радиусы эллипса.

Длина большой полуоси [math]\displaystyle{ a }[/math] связана с длиной малой полуоси [math]\displaystyle{ b }[/math] через эксцентриситет [math]\displaystyle{ e }[/math], фокальный параметр [math]\displaystyle{ p }[/math] и фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами) [math]\displaystyle{ \boldsymbol c }[/math] следующим образом:

[math]\displaystyle{ b = a \sqrt{1-e^2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ p = a(1-e^2), }[/math]

[math]\displaystyle{ ap=b^2. }[/math]

[math]\displaystyle{ a^2 = b^2 + c^2 }[/math]

Большая полуось представляет собой среднее арифметическое между расстояниями от любой точки эллипса до его фокусов.

Рассмотрев уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):

[math]\displaystyle{ r(1-e\cos\theta) = p }[/math]

Получим средние значения [math]\displaystyle{ r={p\over{1+e}} }[/math] и [math]\displaystyle{ r={p\over{1-e}} }[/math] и большую полуось [math]\displaystyle{ a={p\over 1-e^2}. }[/math]

Парабола

График построения параболы простейшей функции y = x²

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в бесконечность, сохраняя [math]\displaystyle{ p }[/math] постоянным. Таким образом [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] стремятся к бесконечности, причём [math]\displaystyle{ a }[/math] быстрее, чем [math]\displaystyle{ b }[/math].

Гипербола

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси [math]\displaystyle{ x }[/math] (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

[math]\displaystyle{ \frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1. }[/math]

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

[math]\displaystyle{ a={p \over e^2-1 } }[/math].

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.

Астрономия

Орбитальный период

В небесной механике орбитальный период [math]\displaystyle{ T }[/math] обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

[math]\displaystyle{ T = 2\pi\sqrt{a^3 \over \mu} }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ a }[/math] — это размер большой полуоси орбиты

[math]\displaystyle{ \mu }[/math] — это стандартный гравитационный параметр (произведение гравитационной постоянной на массу объекта [math]\displaystyle{ \mu= GM\ }[/math])

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела.

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

[math]\displaystyle{ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ T }[/math] — орбитальный период в годах;

[math]\displaystyle{ a }[/math] — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

[math]\displaystyle{ T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3 }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная

[math]\displaystyle{ M }[/math] — масса центрального тела

[math]\displaystyle{ m }[/math] — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля—Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет 384 400 км, в то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля—Луна составляет 379 730 км — из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а на расстоянии 4670 км от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; то же самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения — в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

• усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
• усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
• усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:

[math]\displaystyle{ a \left(1 + \frac{e^2}{2}\right). }[/math]

• усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:

[math]\displaystyle{ \sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}. }[/math]

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния

В небесной механике большая полуось [math]\displaystyle{ a }[/math] может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

[math]\displaystyle{ a = { - \mu \over {2\varepsilon}} }[/math]

для эллиптических орбит

[math]\displaystyle{ a = {\mu \over {2\varepsilon}} }[/math]

для гиперболической траектории

и

[math]\displaystyle{ \varepsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} }[/math]

(удельная орбитальная энергия)

и

[math]\displaystyle{ \mu = G(M+m ) }[/math]

(стандартный гравитационный параметр), где:

[math]\displaystyle{ v }[/math] — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,

[math]\displaystyle{ r }[/math] — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),

[math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная,

[math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math] — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.

Большие и малые полуоси орбит планет

Орбиты планет всегда приводятся в качестве главных примеров эллипсов (первый закон Кеплера). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круговые по внешнему виду. Эта разница (или соотношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как [math]\displaystyle{ a/b = 1/\sqrt{1 - e^2} }[/math], что для типичных эксцентриситетов планет дает очень малые значения. Причина предположения о значительной эллиптичности орбит, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также основывается на эксцентриситете и рассчитывается как [math]\displaystyle{ r_\text{a}/r_\text{p} = (1 + e)/(1 - e) }[/math]. Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко изобразить графически.

	Эксцентриситет	Большая полуось a (а. е.)	Малая полуось b (а. е.)	Разница (%)	Перигелий (а. е.)	Афелий (а. е.)	Разница (%)
Меркурий	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
Венера	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
Земля	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
Марс	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
Юпитер	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
Сатурн	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
Уран	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
Нептун	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

См. также

• Элементы орбиты
• Кеплеровы элементы орбиты
• Эксцентриситет
• Апоцентр и перицентр

Ссылки

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse Архивная копия от 2 апреля 2012 на Wayback Machine With interactive animation