Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось ([math]\displaystyle{ a }[/math]),
• эксцентриситет ([math]\displaystyle{ e }[/math]),
• наклонение ([math]\displaystyle{ i }[/math]),
• долгота восходящего узла ([math]\displaystyle{ \Omega }[/math]),
• аргумент перицентра ([math]\displaystyle{ \omega }[/math]),
• средняя аномалия ([math]\displaystyle{ M_o }[/math]).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось [math]\displaystyle{ a }[/math] положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса.

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: [math]\displaystyle{ a = -\frac {GMm}{2E} }[/math]. Связана с положением и скоростью тела соотношением [math]\displaystyle{ \frac {1}{a} = \frac {2}{r_0} - \frac {v^2_0}\mu }[/math], где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела.

Эксцентриситет

Основная статья: Эксцентриситет орбиты

Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «[math]\displaystyle{ e }[/math]» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

[math]\displaystyle{ \varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} }[/math], где [math]\displaystyle{ b }[/math] — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] орбита представляет собой:

• [math]\displaystyle{ \varepsilon = 0 }[/math] — окружность
• [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon \lt 1 }[/math] — эллипс
• [math]\displaystyle{ \varepsilon = 1 }[/math] — параболу
• [math]\displaystyle{ 1 \lt \varepsilon \lt \infty }[/math] — гиперболу, [math]\displaystyle{ b }[/math] — мнимое число
• [math]\displaystyle{ \varepsilon = \infty }[/math] — прямую (вырожденный случай)

Наклонение

Запрос «Наклонение (астрономия)» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

[math]\displaystyle{ A }[/math] – объект
[math]\displaystyle{ B }[/math] – центральный объект
[math]\displaystyle{ C }[/math] – плоскость отсчёта
[math]\displaystyle{ D }[/math] – плоскость орбиты
 [math]\displaystyle{ i }[/math]  – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если [math]\displaystyle{ 0^\circ\lt i\lt 90^\circ }[/math], то движение небесного тела называется прямым.

Если [math]\displaystyle{ 90^\circ\lt i\lt 180^\circ }[/math], то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Запрос «Долгота восходящего узла» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

[math]\displaystyle{ \mathbf{n} = \mathbf{k} \times \mathbf{h} = (-h_y, h_x, 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega =\arccos { {n_x} \over { \mathbf{\left |n \right |}}}\ \ (n_y\ge 0); }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega =2\pi - \arccos { {n_x} \over { \mathbf{\left |n \right |}}}\ \ (n_y\lt 0). }[/math]

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Запрос «Аргумент перицентра» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ([math]\displaystyle{ \omega }[/math]).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как [math]\displaystyle{ \bar{\omega} }[/math]. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным.

Средняя аномалия

Запрос «Средняя аномалия» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой [math]\displaystyle{ M }[/math] (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия [math]\displaystyle{ M }[/math] вычисляется по следующим формулам:

[math]\displaystyle{ M = M_0 + n(t-t_0) }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] — средняя аномалия на эпоху [math]\displaystyle{ t_0 }[/math],
• [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] — начальная эпоха,
• [math]\displaystyle{ t }[/math] — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• [math]\displaystyle{ n }[/math] — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

[math]\displaystyle{ M=E - e \cdot \sin E }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ E }[/math] — эксцентрическая аномалия ([math]\displaystyle{ E }[/math] на рис.3),
• [math]\displaystyle{ e }[/math] — эксцентриситет.

Ссылки

• (2005) «Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits». J. Guid. Contrl. Dynamics 28: 1079–1084. doi:10.2514/1.14760. .
• Tutorial (неопр.). AMSAT. Архивировано 14 октября 2002 года.
• Orbits Tutorial (неопр.). marine.rutgers.edu. Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано 19 апреля 2021 года.