Альтернатива Титса
Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для [math]\displaystyle{ G }[/math] выполняется в точности одно из следующих утверждений
- Либо [math]\displaystyle{ G }[/math] почти разрешима, то есть содержит разрешимую подгруппу конечного индекса.
- Либо [math]\displaystyle{ G }[/math] содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.
Следствия
- Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
- Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
- Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста.
Вариации и обобщения
Говорят, что группа [math]\displaystyle{ G }[/math] удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы [math]\displaystyle{ H\lt G }[/math] почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что [math]\displaystyle{ H }[/math] конечно порождена.
Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:
- Гиперболические группы
- Группа классов преобразований поверхности[1][2]
- [math]\displaystyle{ Out(F_n) }[/math][англ.][3]
Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:
О доказательстве
В доказательстве рассматривают замыкание [math]\displaystyle{ \bar G }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] в топологии Зарисского. Если [math]\displaystyle{ \bar G }[/math] разрешима, то и группа [math]\displaystyle{ G }[/math] разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа [math]\displaystyle{ G }[/math] в компоненте Леви [math]\displaystyle{ \bar G }[/math]. Если она некомпактна, то пинг-понг лемма[англ.] завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе [math]\displaystyle{ G }[/math] корни единицы, а значит, образ [math]\displaystyle{ G }[/math] конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.
Примечания
- ↑ Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group (англ.) // Dokl. Akad. Nauk SSSR : journal. — 1984. — Vol. 275. — P. 786—789.
- ↑ McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291. — P. 583—612. — doi:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
- ↑ Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(Fn) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2. — P. 517—623. — doi:10.2307/121043. — arXiv:math/9712217. — .
Ссылки
- Tits, J. Free subgroups in linear groups (неопр.) // Journal of Algebra[англ.]. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0.