Алгебра вершинных операторов

Алгебры вершинных операторов впервые были введены Ричардом Борчердсом в 1986 году. Имеет важное значение для теории струн, конформной теории поля и для смежных областей физики. Аксиомы алгебры вершинных операторов — это формальная алгебраическая интерпретация того, что физики называют хиральной алгеброй.

Алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических направлениях, таких как геометрическое соответствие Ленглендса (англ.) и доказательство гипотезы чудовищного вздора.

Примеры

Решётка Z в R даёт супералгебру вершинных операторов, соответствующую одному комплексному фермиону. Это ещё один способ формулировки бозонно-фермионного соответствия. Фермионное поле ψ(z) и его сопряжённое поле ψ^†(z) определяются выражением:

[math]\displaystyle{ \psi(z)=\sum e_nz^{-n-1},\ \ \psi^\dagger(z)=\sum e_n^*z^n,\ \ \{e_n,e_m\}=0,\ \ \{e_m,e_n^*\}=\delta_{m,n}I. }[/math]

Соответствие между фермионами и одним заряженным бозонным полем

[math]\displaystyle{ \phi(z)=\sum a_nz^{-n-1},\ \ [a_m,a_n]=m\delta_{n+m,0}I,\ \ Ua_nU^{-1}=a_n - \delta_{n,0}I }[/math]

принимает вид

[math]\displaystyle{ \phi(z)=\;\colon\psi^\dagger(z)\psi(z)\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi(z)=U \;\colon\exp \int \phi(z) \colon }[/math]

где нормальные экспоненты интерпретируется как вершинные операторы.

Решётка √2 Z в R даёт алгебру вершинных операторов, соответствующую аффинной алгебре Каца — Муди (англ.) для SU(2) на первом уровне. Она реализуется полями

[math]\displaystyle{ H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z) }[/math]

[math]\displaystyle{ E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\dagger(z) }[/math]

[math]\displaystyle{ F(z)=\psi^\dagger(z)\otimes \psi(z) }[/math]

Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — Ижевск: РХД 2008. — 424 с. — ISBN 978-5-93972-664-1
Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих / Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2005. — 200 с. — ISBN 5-94057-124-7.
Шехтман В. В. Вертексные алгебры, связанные с алгебраическими многообразиями. — С. 91-104 Архивная копия от 8 февраля 2013 на Wayback Machine.