Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа; Лагранж доказал теорему в 1770 году.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]. Поскольку числа вида [math]\displaystyle{ 4^m(8n+7), }[/math] где [math]\displaystyle{ \overline{m,n}=\overline{0,1,2,\;\ldots} }[/math], непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах, то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди [math]\displaystyle{ G(2)=4 }[/math].

Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа [math]\displaystyle{ N }[/math] с помощью [math]\displaystyle{ O(N^2\log_{2}{N}) }[/math] арифметических операций. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов.

Примеры:

[math]\displaystyle{ 3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 31 = 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 310 = 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 9 = 3^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 }[/math]