Теорема Ферма о многоугольных числах

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что любое натуральное число представимо как сумма не более [math]\displaystyle{ n }[/math] [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольных чисел.

Примеры

Примеры разбиения натуральных чисел от 1 до 30 в соответствии с теоремой Ферма[1]:

Число Сумма не более трёх
треугольных чисел		 Сумма не более четырёх
квадратных чисел		 Сумма не более пяти
пятиугольных чисел
1 1 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 1
2 1 + 1 1 + 1 1 + 1
3 3 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1
4 3 + 1 [math]\displaystyle{ 2^2 }[/math] 1 + 1 + 1 + 1
5 3 + 1 + 1 [math]\displaystyle{ 2^2 + 1 }[/math] 5
6 6 [math]\displaystyle{ 2^2 + 1 + 1 }[/math] 5 + 1
7 6 + 1 [math]\displaystyle{ 2^2 + 1 + 1 + 1 }[/math] 5 + 1 + 1
8 6 + 1 + 1 [math]\displaystyle{ 2^2 + 2^2 }[/math] 5 + 1 + 1 + 1
9 6 + 3 [math]\displaystyle{ 3^2 }[/math] 5 + 1 + 1 + 1 + 1
10 10 [math]\displaystyle{ 3^2 + 1 }[/math] 5 + 5
11 10 + 1 [math]\displaystyle{ 3^2 + 1 + 1 }[/math] 5 + 5 + 1
12 6 + 6 [math]\displaystyle{ 2^2 + 2^2 + 2^2 }[/math] 12
13 10 + 3 [math]\displaystyle{ 3^2 + 2^2 }[/math] 12 + 1
14 10 + 3 + 1 [math]\displaystyle{ 3^2 + 2^2 + 1 }[/math] 12 + 1 + 1
15 15 [math]\displaystyle{ 3^2 + 2^2 + 1 + 1 }[/math] 5 + 5 + 5
16 15 + 1 [math]\displaystyle{ 4^2 }[/math] 5 + 5 + 5 + 1
17 10 + 6 + 1 [math]\displaystyle{ 4^2 + 1 }[/math] 12 + 5
18 15 + 3 [math]\displaystyle{ 3^2 + 3^2 }[/math] 12 + 5 + 1
19 10 + 6 + 3 [math]\displaystyle{ 3^2 + 3^2 + 1 }[/math] 12 + 5 + 1 + 1
20 10 + 10 [math]\displaystyle{ 4^2 + 2^2 }[/math] 5 + 5 + 5 + 5
21 21 [math]\displaystyle{ 4^2 + 2^2 + 1 }[/math] 5 + 5 + 5 + 5 + 1
22 21 + 1 [math]\displaystyle{ 3^2 + 3^2 +2^2 }[/math] 22
23 10 + 10 + 3 [math]\displaystyle{ 3^2 + 3^2 + 2^2 + 1 }[/math] 22 + 1
24 21 + 3 [math]\displaystyle{ 4^2 + 2^2 + 2^2 }[/math] 12 + 12
25 15 + 10 [math]\displaystyle{ 5^2 }[/math] 12 + 12 + 1
26 15 + 10 + 1 [math]\displaystyle{ 5^2 + 1 }[/math] 12 + 12 + 1 + 1
27 21 + 6 [math]\displaystyle{ 5^2 + 1 + 1 }[/math] 22 + 5
28 28 [math]\displaystyle{ 5^2 + 1 + 1 + 1 }[/math] 22 + 5 + 1
29 28 + 1 [math]\displaystyle{ 5^2 + 2^2 }[/math] 12 + 12 + 5
30 15 + 15 [math]\displaystyle{ 5^2 + 2^2 + 1 }[/math] 12 + 12 + 5 + 1

История

Теорема названа именем Пьера Ферма, который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась[2]. В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел[2]. Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике: «Эврика!»[3] и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования. Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика»[4] Полностью теорему доказал Коши в 1813 году.[2] .Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах[5].

Частные случаи

Наиболее интересны квадратный [math]\displaystyle{ m = n^2 }[/math] и треугольный [math]\displaystyle{ m = \frac{n(n+1)}{2} }[/math] случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.

Примечания

  1. ↑ Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 146. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria;история греческой алгебры, Cambridge University Press, с. 188, <https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala> .
  3. ↑ Bell, Eric Temple (1956), Gauss, the Prince of Mathematicians, in Newman, James R., The World of Mathematics, vol. I, Simon & Schuster, с. 295–339 . Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
  4. ↑ Ono, Ken; Robins, Sinai & Wahl, Patrick T. (1995), On the representation of integers as sums of triangular numbers, Aequationes Mathematicae Т. 50 (1–2): 73–94, DOI 10.1007/BF01831114 .
  5. ↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), A short proof of Cauchy's polygonal number theorem, Proceedings of the American Mathematical Society Т. 99 (1): 22–24, DOI 10.2307/2046263 

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Fermat's Polygonal Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin: Springer, ISBN 978-0-387-94656-6 . Содержит доказательство теоремы Лагранжа и теоремы о многоугольных числах.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Ферма_о_многоугольных_числах&oldid=5827145