Отрезок

Эта статья — о понятии в геометрии и математическом анализе. О насильно отрезанных от крестьянских наделов землях см. Отрезки (земля).

Отрезок AB (выделен красным)

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], обозначается символом [math]\displaystyle{ AB }[/math]. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают [math]\displaystyle{ AB }[/math] или [math]\displaystyle{ |AB| }[/math].

Направленный отрезок

Основная статья: Вектор (математика)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ BA }[/math] представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ BA }[/math] не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой

Основная статья: Промежуток (математика)

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \{x\} }[/math], удовлетворяющих неравенству [math]\displaystyle{ a \le x \le b }[/math], где заранее заданные вещественные числа [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] [math]\displaystyle{ (a\lt b) }[/math] называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа [math]\displaystyle{ x }[/math], удовлетворяющие неравенству [math]\displaystyle{ a\lt x\lt b }[/math], называются внутренними точками отрезка.

Отрезок обычно обозначается [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]:

[math]\displaystyle{ [a,b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \} }[/math].

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число [math]\displaystyle{ |a-b|=b-a }[/math] называется длиной числового отрезка [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой [math]\displaystyle{ \{[a, b] | a, b \in \R \land a \lt b\} }[/math].

Система сегментов обозначается [math]\displaystyle{ \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} }[/math]. Подразумевается, что каждому натуральному числу [math]\displaystyle{ n }[/math] поставлен в соответствие отрезок [math]\displaystyle{ [a_n, b_n] }[/math].

Система сегментов [math]\displaystyle{ \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} }[/math] называется стягивающейся, если

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  [math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon [a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n] }[/math]

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 }[/math]

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

[math]\displaystyle{ \forall \{[a_n, b_n]\}_{n = 1}^{\infty} ~ \exists ! c \in \R ~ \forall n \in N \colon c \in [a_n, b_n], }[/math] где [math]\displaystyle{ \forall }[/math] — квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности.

См. также

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая