142 857 (число)
| 142 857 | |
|---|---|
| сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь | |
| ← 142 855 · 142 856 · 142 857 · 142 858 · 142 859 → | |
| Разложение на множители | 33· 11 · 13 · 37 |
| Римская запись | CXLMMDCCCLVII |
| Двоичное | 100010111000001001 |
| Восьмеричное | 427011 |
| Шестнадцатеричное | 22E09 |
142 857 (сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь) — натуральное число, расположенное между числами 142 856 и 142 858. Оно не является простым числом, а относительно последовательности простых чисел расположено между 142841 и 142867[1].
142 857 также называют числом сансары[2].
Математические свойства
Являясь периодом разложения обыкновенной дроби [math]\displaystyle{ \frac{1}{7} }[/math] в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.
Циклическое число
Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142 857[3].
- 1 × 142 857 = 142 857
- 2 × 142 857 = 285 714
- 3 × 142 857 = 428 571
- 4 × 142 857 = 571 428
- 5 × 142 857 = 714 285
- 6 × 142 857 = 857 142
- 7 × 142 857 = 999 999
(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно [math]\displaystyle{ \frac{1}{7} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{2}{7} }[/math] и т. д.)
Обобщения цикличности
Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999[3]:
- 8 × 142857 = 1142856 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857)
- 42 × 142857 = 5999994 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999)
- 142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)
Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.
Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на [math]\displaystyle{ \frac{5}{10} }[/math] или на [math]\displaystyle{ \frac{2}{10} }[/math] соответственно) также можно получить сдвигом:
- 142 857 / 2 = 71 428.5
- 142 857 / 5 = 28 571.4
После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:
- [math]\displaystyle{ 857^2 = 734449 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 142^2 = 20164 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 734449 - 20164 = 714285 }[/math]
Как период обыкновенной дроби
Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби [math]\displaystyle{ \frac{1}{7} }[/math]. Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами[3][4][5]:
- 1/7 = 0.14285714285714285714…
- 2/7 = 0.28571428571428571428…
- 3/7 = 0.42857142857142857142…
- 4/7 = 0.57142857142857142857…
- 5/7 = 0.71428571428571428571…
- 6/7 = 0.85714285714285714285…
Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби)[3][5]. Первые несколько значений n, для которых длина периода дроби 1/n в десятичной записи равна n - 1, равны 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131[3][6].
Другие операции
Если десятичную запись числа 142 857 разбить на две части, то есть 142 и 857, и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99[3].
Другие свойства
142 857 является также числом харшад[7]:
- [math]\displaystyle{ 142857 = 5291\cdot (1+4+2+8+5+7) }[/math]
- [math]\displaystyle{ 142857^2 = 20408122449, }[/math]
- [math]\displaystyle{ 142857 = 20408 + 122449. }[/math]
См. также
Примечания
- ↑ Свойства числа 142857 Архивная копия от 29 августа 2016 на Wayback Machine ru.numberempire.com
- ↑ Число Сансары - 142 857. Рассказываю, почему оно интересно. Дзен | Блогерская платформа. Дата обращения: 30 июня 2022.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed.. — Penguin Books, 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
- ↑ 4,0 4,1 Robert Munafo. 142857. Notable Properties of Specific Numbers at MROB. Дата обращения: 24 октября 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.
- ↑ 5,0 5,1 Robert Munafo. 7. Notable Properties of Specific Numbers at MROB. Дата обращения: 24 октября 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.
- ↑ Последовательность A006883 в OEIS = Long period primes: the decimal expansion of 1/p has period p-1.
- ↑ Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits.
- ↑ Последовательность A006886 в OEIS = Kaprekar numbers: n such that n=q+r and n^2=q*10^m+r, for some m >= 1, q>=0 and 0<=r<10^m, with n != 10^a, a>=1.
Литература
- Мартин Гарднер. Лучшие математические игры и головоломки. — М.: АСТ, Астрель, 2009. — С. 111—121. — ISBN 978-5-17-058244-0 («Издательство АСТ»), 978-5-271-23247-3 («Издательство Астрель»).
- Яков Перельман. Магические кольца // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М.: Детгиз, 1954. — С. 90—96.
- David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed.. — Penguin Books, 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
- Joe Roberts. Lure of the Integers (англ.). — MAA, 1992. — P. 26. — ISBN 0-88385-502-X.