Теорема Миди

Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби [math]\displaystyle{ a/p }[/math] (где [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число) длина записи периода дроби состоит из [math]\displaystyle{ 2n }[/math] цифр, то есть:

[math]\displaystyle{ \frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}}, }[/math]

то

[math]\displaystyle{ a_i+a_{i+n}=9 }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1. }[/math]

Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9.

Например,

[math]\displaystyle{ \frac1{17}=0,\overline{0588235294117647}, }[/math] и [math]\displaystyle{ 05882352+94117647=99999999. }[/math]

Расширенная теорема Миди

Пусть [math]\displaystyle{ h }[/math] — число цифр в периоде десятичной записи дроби [math]\displaystyle{ a/p }[/math] (где [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число). Если [math]\displaystyle{ k }[/math] — любой делитель числа [math]\displaystyle{ h }[/math], теорему Миди можно обобщить. Расширенная теорема Миди постулирует, что если период десятичной записи дроби [math]\displaystyle{ a/p }[/math] разделить на числа с [math]\displaystyle{ k }[/math] цифр, то их сумма делится на 10^k − 1.

Например,

[math]\displaystyle{ \frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421} }[/math]

имеет период из 18 цифр. Разделив его на шестизначные числа, получаем:

[math]\displaystyle{ 052631+578947+368421=999999. }[/math]

Аналогично, разделив на трехзначные числа:

[math]\displaystyle{ 052+631+578+947+368+421=2997=3\times999. }[/math]

Теорема Миди в системах с другим основанием

Теорема Миди не зависит от основания системы счисления. Для системы счисления, отличной от десятичной, в ней надо заменить 10 на основание системы — k, а 9 на k-1. Так, например, в восьмеричной системе счисления:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8 }[/math]

[math]\displaystyle{ 032_8+745_8=777_8 }[/math]

[math]\displaystyle{ 03_8+27_8+45_8=77_8. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Midy's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.