Делимая группа

Делимая группа — это группа [math]\displaystyle{ G }[/math], такая что для любых [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] и [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] уравнение

[math]\displaystyle{ x^n=g }[/math]

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как [math]\displaystyle{ nx=g }[/math].

Группа [math]\displaystyle{ A }[/math] называется [math]\displaystyle{ p }[/math]-делимой ([math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число), если для любого [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] разрешимо в [math]\displaystyle{ A }[/math] уравнение [math]\displaystyle{ px=a }[/math].

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

Примеры

Группа [math]\displaystyle{ (\mathbb Q,+) }[/math] всех рациональных чисел;
[math]\displaystyle{ p }[/math]-примарная квазициклическая группа [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{p^\infty},+) }[/math], то есть группа, порожденная счетным набором элементов [math]\displaystyle{ a_0,\,a_1,\,\ldots,\,a_n,\,\ldots }[/math], удовлетворяющих условию

[math]\displaystyle{ pa_0=0,\,pa_1=a_0,\,\ldots,\,pa_n=a_{n-1},\,\ldots }[/math]

Свойства делимых групп

Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она [math]\displaystyle{ p }[/math]-делима при каждом простом [math]\displaystyle{ p }[/math].
Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
- Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп ([math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]-модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов.
Любая абелева группа [math]\displaystyle{ A }[/math] разлагается в прямую сумму [math]\displaystyle{ A=D\oplus R }[/math], где [math]\displaystyle{ D }[/math] — делимая группа (она называется делимой частью группы [math]\displaystyle{ A }[/math]), а [math]\displaystyle{ R }[/math] — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп

Если [math]\displaystyle{ A }[/math] — произвольная делимая абелева группа, то

[math]\displaystyle{ A\cong\bigoplus\limits_{r_0(A)}\mathbb Q\oplus\bigoplus\limits_{p\in P}\bigoplus\limits_{r_p(A)}\mathbb{Z}_{p^\infty} }[/math].

Связанные определения

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Литература

Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
А. Г. Курош Теория групп. — М.: Физматлит, 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6.