Биморфизм
Биморфи́зм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа[1], теоретико-категорное обобщение понятия биективного отображения.
Понятие биморфизма самодвойственно. Композиция биморфизмов является биморфизмом, таким образом, для данной категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] определена подкатегория [math]\displaystyle{ \mathrm{Bim}_\mathcal C \subseteq \mathcal C }[/math], состоящая из тех же объектов, и содержащая лишь морфизмы, являющиеся биморфизмами.
Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм есть изоморфизм. Например, вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел [math]\displaystyle{ \sigma: \Z \to \Q }[/math] в категории ассоциативных колец является биморфизмом, при этом необратимым, то есть, изоморфизмом не являющимся[2]. Если биморфизм [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] представлен в виде [math]\displaystyle{ \sigma = \tau \circ \upsilon }[/math], то [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — мономорфизм, а [math]\displaystyle{ \upsilon }[/math] — эпиморфизм[3].
Сбалансированная категория — категория, в которой каждый биморфизм является изоморфизмом[1], таковы, например, категория множеств и категория групп. Категория колец, категория топологических пространств, категория абелевых групп без кручения — несбалансированные.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Horst Schubert. 3.5 Bimorphisms // Categories. — Springer, 2012. — С. 34—35. — ISBN 9783642653643.
- ↑ Общая алгебра, 1991, с. 377—378.
- ↑ Цаленко, Шульгейфер, 1974, с. 30.
Литература
- Биморфизм — статья из Математической энциклопедии. И. В. Долгачёв, М. Ш. Цаленко
- Шульгейфер Е. Г. . Глава VII. Категории // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 368—460. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
- М. Ш. Цаленко, Е. Г. Шульгейфер. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.